【数据结构初阶】---时间复杂度和空间复杂度了解及几道相关OJ题

算法效率

代码的运行效率取决于算法的效率，而算法的效率又取决于算法的复杂度。

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

时间复杂度

时间复杂度的概念

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们如果我们将每个算法都上机测试的话，这就会很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
意思就是我们只保留对程序运行次数影响最大的那个数
比如：

我们在做题的时候遇到题目里出现的O(...)就是对我们程序的运行次数和变量开辟数量进行限制。

常见的时间复杂度举例

实例1：

我们可以得出实例1基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

复制代码

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 
 printf("%d\n", count);
}

实例2：

我们可以得出实例2基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)，如果题目又=有提及M<<N，那么时间复杂度可以表示为O(N^2)

复制代码

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

实例1：

我们可以看出实例1动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)

复制代码

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
 if(n==0)
 return NULL;
 
 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 
 return fibArray;
}

实例2：

实例2使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

复制代码

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

复杂度的几道相关OJ练习

1.消失的数字

链接: 消失的数字OJ

题目如下：

这道题我有两个思路。

思路1：

先将0~n的所有整数相加放到sum中，然后用sum减去数组中的所有元素，这样子数组中缺失的那个整数就是sum减完后的数

缺点：n太大可能会导致sum存不下导致栈溢出。

代码参考如下：

复制代码

int missingNumber(int* nums, int numsSize) {
    int sum=0;
    for(int i=0;i<numsSize;i++)
    {
        sum+=i;
        sum-=nums[i];
    }
    sum+=numsSize;
    return sum;
}

思路2：

我们使用异或操作符^来解决，我们先将0~n的所有数的异或结果放到x中，然后再将数组nums中所有元素和x进行异或，最后x就是数组nums中缺失的那个数。

代码参考如下：

复制代码

int missingNumber(int* nums, int numsSize) {
    int x=0;
    for(int i=0;i<numsSize;i++)
    {
        x^=i;
        x^=nums[i];
    }
    x^=numsSize;
    return x;
}

2.轮转数组

链接: 旋转数组OJ

题目如下：

这道题很简单，我们只要进行三次旋转就可以。先旋转前n-k个数，再旋转后k个数，最后整体旋转。

需要注意的是：一个长度为n的数组，右旋转n次之后是不是顺序还是不变呀，所以我们得先将旋转次数k与数组长度进行取模%操作，不然的话可能会因为k太大导致我们的超出限制时间导致无法通过。

代码参考如下：

复制代码

void Swap(int* nums, int left, int right)
{
    while(left<right)
    {
        int temp=nums[right];
        nums[right]=nums[left];
        nums[left]=temp;
        left++;
        right--;
    }
}

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
    k%=numsSize;

    Swap(nums,0,numsSize-k-1);
    Swap(nums,numsSize-k,numsSize-1);
    Swap(nums,0,numsSize-1);
}