二叉树（顺序结构：堆）---数据结构

大家好，我们今天来学习二叉树的顺序结构：堆，其中包含堆的实现、应用。

二叉树的顺序结构及实现

二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是++这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事++，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K={ko,k1,k2,...,kn-1),把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储

在一个一维数组中，并满足: K1<=K2*i+1 且 Ki<=K2*i+2 ( Ki>=K2*i+1 且 Ki>=K2*i+2 ) i=0,1, 2,...则称为小堆 (或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

堆的实现

堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

cpp 复制代码

 int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

cpp 复制代码

//向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* a,int n,int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child<n)
		{	
			//假设法选出左右孩子中小的孩子
			if (child+1 < n && a[child + 1] < a[child])
			{
				child++;
			}

			if (a[child] < a[parent])
			{
				Swap(&a[child], &a[parent]);
				parent = child;
				child = parent * 2 + 1;
			}
			else//叶子节点结束
			{
				break;
			}
		}
}

堆向上调整算法，此方法某些方面不如向下调整算法，所以创建堆的时候采用向下调整算法

cpp 复制代码

//向上调整算法
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child>0)
	{
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
			break;
	}
}

向上调整算法和向下调整算法时间复杂度都是O(logN),但是创建堆时向上调整算法建堆时，模拟插入，插入一个就是向上调整一次，所以时间复杂度是O(N*logN)

但是向下调整算法，是建完堆后，进行排序，堆越下层，数量越多，但是向下调整越下层调整次数越少，证明如下图，所以时间复杂度是O(N - log(N+1))= O(N)

堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

建堆过程中要注意 父子存储的下标位置的规律

leftchild = parent * 2 + 1;

rightchild = parent * 2 +2;

parent = (child - 1) / 2

cpp 复制代码

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

因此：建堆的时间复杂度为O(N)。与节点数量有关

堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法 ，直到满足堆。时间复杂度O(logN)

堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据交换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法 。时间复杂度O(logN)

堆的代码实现

堆的代码详情请见我另一篇代码博客：堆代码贴

cpp 复制代码

typedef int HPDataType;
 typedef struct Heap
 {
    HPDataType* _a;
    int _size;
    int _capacity; 
}Heap;
 
// 堆的构建
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n);
 // 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
 // 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
 // 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
 // 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
 // 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
 // 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);

堆的应用

堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆

升序：建大堆
降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆

前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

Top-K问题

100亿个数据，如何找出最大的前10个？

100亿个整数需要接近40G的空间，所以直接建一个大堆不可取

我们选择建一个10个数的小堆

后续数据跟堆顶数据比较，如果比堆顶数据大，就替代堆顶，进堆时间复杂度：K+(N-K)*logK

N个数据里面找最大的前K个 N远大于K 则建K数据的小堆，后续数据进堆

cpp 复制代码

void PrintTopK(int* a, int n, int k)
 {
    // 1. 建堆--用a中前k个元素建堆
    
    // 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换
}
 
void TestTopk()
 {
    int n = 10000;
    int* a = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
    srand(time(0));
    for (size_t i = 0; i < n; ++i)
    {
        a[i] = rand() % 1000000;
    }
    a[5] = 1000000 + 1;
    a[1231] = 1000000 + 2;
    a[531] = 1000000 + 3;
    a[5121] = 1000000 + 4;
    a[115] = 1000000 + 5;
    a[2335] = 1000000 + 6;
    a[9999] = 1000000 + 7;
    a[76] = 1000000 + 8;
    a[423] = 1000000 + 9;
    a[3144] = 1000000 + 10;
     PrintTopK(a, n, 10);
 }

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