本篇将讲解计数原理和最基础的排列数和组合数
一：计数原理
分类加法原理：
情景：现在你有3趟明天的火车，还有2班明天的飞机，问你有多少种方式能到达目的地
显然我们既可以坐火车，也可以坐飞机，而且坐了火车就不能坐飞机，坐了飞机就不能坐火车，它们的选择是彼此独立的
所以我们有3+2=5种方案能到达目的地
这就是分类加法原理，就是我们的路径是分类的，每个选择彼此独立
分步乘法原理：
情景：现在你有3件衣服和2件裤子，你有多少种穿搭方案出门？
二：排列数
情景：现在有n个人排队，问有多少种排队方案
首先假设n-1个人有x种排列方案，那么对于第n个人来说，他可以排在每个人的前面，也可以排在每个人的后面，如图，我们发现对于第n个人，无论前n-1个人排列如何，我们都可以把第n个人放在红色的位置，并且无论放在哪里都会变成一个新的排列，根据乘法原理，它的总方案数，就是前n-1个人的方案总数乘以第n个人的方案数，而第n个人的方案数是n，所以我们知道，3个人排列就是前2个人排列数*3,4个人就是前3个人排列数*4，而第一个人排列数一定是1，所以我们得到了全排列的定义（即n个人选n个人排队有多少种方案）
n的全排列数即为n的阶乘，符号是
、
或者有另一种理解方式：
既然5个人排队，那我们就是一共有5个位置可以放人，我们考虑每个位置有多少种方案，根据乘法原理，最终的排列数就是每个位置的方案数之积
比如第一个位置，现在5个人都没有排，所以每个人都可以站在第一个位置，所以第一个位置方案数是5
第二个位置呢？既然有一个人去站第一个位置了，那么剩下的4个人都可以站在第二个位置，所以第二个位置方案数是4
第三个位置呢？既然有2个人去1,2位置了，那么剩下3个随便站，方案数是3
同理，4位置方案数是4
最后只剩1个人了，只能站在第五个位置，所以第五个位置方案数是1
最终答案是5*4*3*2*1，也是n的阶乘
然后我们考虑n个人里选m个排列，我们发现在第二个图中，假如5个选3个，那么后面两个位置就没有了，我们只需要考虑前3个位置的方案数，然后前3个位置的方案数分别是5,4,3，和刚才全排列没有区别，所以答案是5*4*3
所以我们得出了排列数的公式
其实很好理解，全排列数是n!，相当于被扣去(m-1)个位置，所以那一部分的方案数就不算了，除一下就好了
三：组合数
我们回顾一下排列数，在排列中，我们认为13和31是不同的，算两种排列，但是在组合中，我们认为它们是相同的，所以数量肯定要减少，至于减少多少：
我们考虑一个排列A，比如A=123，那么其实123,,132,213,231,312,321都算一种组合数，但它们算6种排列
所以我们可以发现，对于A的全排列，它们实际上都是一个组合
所以我们发现，组合相比排列，"缩水"的地方实际在于，排列A的全排列（比如A=123，它的全排列就是从1-3所有排列的方案），它们算了很多次排列，但只算了一个组合
所以我们自然而然的想到，要算一个组合数，先算出它的排列数，然后用排列数除以每个数多贡献出的数量，也就是除以n的全排列（因为1-n的全排列只算一个组合）
举个例子，比如我让4个人挑2个去排列，那么所有的排列方式应该是这样的
1 2
2 1
1 3
3 1
2 3
3 2
1 4
4 1
2 4
4 2
3 4
4 3
共12种排列方式
然而我们发现，每相邻两种排列方式，它们只改变了顺序，而没有改变元素种类，组合的本质是不计顺序的排列（1 2和2 1的区别仅仅是顺序）
那我们发现对于任意一个排列A，A与其全排列的区别就仅仅是顺序
比如A=123，它的全排列是
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
然而它们内部的数没有区别，所以尽管算6种排列，但是只能算一种组合
比如567和765是两种排列，但只是一种组合
所以我们发现，对于一个组合数S，它其实等于对应的排列数除以每个组合对应的全排列数，因为每个组合内部的数量是相同的，所以除它们共同的全排列数即可
比如还是4个人里选2个组合，那么符合条件的组合分别有：
1 2（包括2 1）
1 3（包括3 1）
1 4（包括4 1）
2 3（包括3 2）
2 4（包括4 2）
3 4（包括4 3）
由于是选2个进行组合，所以只需要用4个人选2个的排列数，去除以2的全排列数，就是2的阶乘即可
形式化地，我们对n个人选m个人组合的方案数计算如下：