机器学习数学基础:44.多元线性回归

一、文字内容详解

1. 多重共线性的判断------皮尔逊相关系数

皮尔逊相关系数用于衡量自变量间的线性相关程度,取值范围为 ([-1, 1]):

  • 绝对值越接近 (1),变量间线性相关性越强;越接近 (0),相关性越弱。
  • 在多重共线性判断中,经验标准为:若自变量间的皮尔逊相关系数 < 0.7,说明变量间线性关联未达到"严重"水平,多重共线性问题可控。例如,分析"广告投入、产品价格"对销量的影响时,若二者相关系数为 (0.6),则不构成严重共线性。
2. 多重共线性的处理措施
  • 删除次要变量
    通过理论分析或统计检验(如变量显著性检验),识别对因变量影响较小(不显著)且与其他变量高度相关的自变量。例如,研究消费行为时,若"月收入"与"银行存款"高度相关,且"银行存款"对消费的解释不显著,可删除该变量,减少共线性干扰。
  • 合并相关较高的变量
    将高相关变量整合成新指标。常用方法包括:
    • 主成分分析:提取公共因子,用少数综合变量替代原始变量;
    • 构建综合指标:如将"运动量""运动强度"合并为"运动总消耗",既保留信息,又降低共线性。

二、图示内容详解

  • 变量关系
    • X1、X2、X3:代表自变量,彼此间通过曲线箭头连接,表明存在相关关系(即多重共线性)。
    • Y:代表因变量,直线箭头表示自变量对因变量的影响路径,体现多元线性回归中"多个自变量共同解释因变量"的逻辑。
  • 模型逻辑
    图示直观呈现多元线性回归模型的结构,既展示自变量间的关联(潜在的多重共线性问题),也体现自变量对因变量的作用。这种关联可能干扰对因变量影响的准确估计,因此需通过判断(如皮尔逊相关系数)和处理(删除或合并变量)优化模型。

三、通俗理解多重共线性

1. 多重共线性是啥?

想象分析"每天学习时长、刷题量、复习次数"对考试成绩的影响。理论上,这三个因素独立影响成绩,但现实中,学习时间长可能刷题量多、复习次数也多------它们之间有关联,这就是多重共线性。多元回归假设自变量"各自独立",但现实中它们常有关联,只要关联不大就没事,关联过强才出问题。

2. 多重共线性的"破坏力"

比如研究"运动量、运动强度"对减肥的影响。正常逻辑:运动量越大、强度越高,减肥效果越好(对应回归系数应为正数)。但如果"运动量"和"运动强度"高度相关(如运动强度高时,运动量被迫减少),分析结果可能出现"运动强度"的系数是负数------违背常理,这就是多重共线性导致的"诡异结果"。

3. VIF:判断共线性的"尺子"
  • VIF<3:自变量间"关系很淡",共线性问题几乎可忽略,像陌生人;
  • 3≤VIF≤10:自变量间"有点交情",存在弱共线性,像普通朋友;
  • VIF>10:自变量间"关系过密",共线性严重,像亲密伙伴,此时必须处理(如删除部分变量、合并变量等),否则分析结果不可信。
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