配对样本t检验

配对样本 t 检验 （Paired Sample t -test），也称为 成对样本 t 检验 或 配对 t 检验 ，用于比较 同一组对象在不同条件下的均值差异，以判断差异是否具有统计学意义。

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1. 适用场景

配对样本 t 检验适用于 两组相关数据，常见情况包括：

• 前后测实验设计（Pre-test & Post-test）：如测试某种培训是否提升了学生的考试成绩（同一批学生测试前后的分数）。
• 同一对象不同条件下测量（Repeated Measures）：如测量同一批患者服药前后的血压变化。
• 配对实验设计（Matched Pairs）：如一组双胞胎兄弟分别接受不同的教学方法，比较他们的考试成绩。

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2. 假设

• 零假设（H₀） ：两次测量的均值无显著差异，即 $\mu \; d\; =\; 0\; \backslash mu\_d\; =\; 0$μd=0。
• 备择假设（H₁） ：两次测量的均值存在显著差异，即 $\mu \; d\; \ne \; 0\; \backslash mu\_d\; \backslash neq\; 0$μd=0。

其中， $\mu \; d\; \backslash mu\_d$μd 是两组配对数据的均值差。

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3. 计算方法

(1) 计算差值

对于每对样本 $(\; X\; i\; ,\; Y\; i\; )\; (X\_i,\; Y\_i)$(Xi,Yi)，计算差值：
$$d\; i\; =\; X\; i\; -\; Y\; i\; d\_i\; =\; X\_i\; -\; Y\_i$$di=Xi−Yi

得到一组差值 $\{\; d\; 1\; ,\; d\; 2\; ,\; ...\; ,\; d\; n\; \}\; \backslash \{\; d\_1,\; d\_2,\; \backslash dots,\; d\_n\; \backslash \}${d1,d2,...,dn}。

(2) 计算均值和标准差

计算差值的均值 $d\; ˉ\; \backslash bar\{d\}$dˉ 和标准差 $s\; d\; s\_d$sd：
$$d\; ˉ\; =\; 1\; n\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; d\; i\; \backslash bar\{d\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; d\_i$$dˉ=n1i=1∑ndi
$$s\; d\; =\; \sum \; (\; d\; i\; -\; d\; ˉ\; )\; 2\; n\; -\; 1\; s\_d\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash sum\; (d\_i\; -\; \backslash bar\{d\})^2\}\{n-1\}\}$$sd=n−1∑(di−dˉ)2

(3) 计算 t 统计量

$$t\; =\; d\; ˉ\; s\; d\; /\; n\; t\; =\; \backslash frac\{\backslash bar\{d\}\}\{s\_d\; /\; \backslash sqrt\{n\}\}$$t=sd/n dˉ

其中， $n\; n$n 是配对样本的数量。

(4) 查表得 p 值

在自由度 $d\; f\; =\; n\; -\; 1\; df\; =\; n\; -\; 1$df=n−1 下查找 t 分布表，确定 p 值。

• 若 p 值小于显著性水平（如 0.05），则拒绝 H₀，说明两组均值存在显著差异。

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4. 示例

假设某公司想评估培训对员工生产力的影响，测量培训前（X）和培训后（Y）10 名员工的产量：

员工	训练前 (X)	训练后 (Y)	差值 (d = X - Y)
1	50	55	-5
2	60	62	-2
3	45	50	-5
4	70	72	-2
5	65	68	-3
6	80	82	-2
7	75	78	-3
8	85	88	-3
9	90	93	-3
10	95	98	-3

计算均值差 $d\; ˉ\; =\; -\; 3.1\; \backslash bar\{d\}\; =\; -3.1$dˉ=−3.1、标准差 $s\; d\; =\; 1.37\; s\_d\; =\; 1.37$sd=1.37，然后计算 t 值，并根据 p 值判断是否显著。

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5. 代码实现（Python）

import scipy.stats as stats

# 训练前后数据
before = [50, 60, 45, 70, 65, 80, 75, 85, 90, 95]
after = [55, 62, 50, 72, 68, 82, 78, 88, 93, 98]

# 计算配对样本t检验
t_stat, p_value = stats.ttest_rel(before, after)

print(f"t 统计量: {t_stat:.4f}")
print(f"p 值: {p_value:.4f}")

如果 p 值 < 0.05，则说明培训前后存在显著差异。

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6. 总结

• 用途 ：用于比较 同一组对象在不同条件下的均值差异。
• 关键点 ：
  • 计算配对差值 $d\; i\; d\_i$di
  • 计算均值差 $d\; ˉ\; \backslash bar\{d\}$dˉ 和标准差 $s\; d\; s\_d$sd
  • 计算 t 统计量并查找 p 值
• 适用于 ：重复测量实验、前后测设计、配对实验等。

如果你的数据是两组独立样本 ，应使用独立样本 t 检验 （Independent Sample t-test）。