完全背包理论基础
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
下面以kama52为例解析完全背包问题。
kama 52 携带研究材料
题目链接：kamacoder.com/problempage...
考虑动态规划五部曲：
- dp数组和下标含义：
dp[i][j]为容量为装下标0-i的物品在容量为j的包里能达到的最大价值 - 确定递推公式：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]]+value[i])注意当确定多放一个i时，背包里原来也可以有i，所以是从第i行取值 - dp数组如何初始化：只需要初始化
dp[0][0]为0 - 确定遍历顺序：从上到下，从左到右
- 举例推导dp数组：
java
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main (String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int capacity = scanner.nextInt();
int[] weight = new int[n];
int[] value = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
weight[i] = scanner.nextInt();
value[i] = scanner.nextInt();
}
int[][] dp = new int[n][capacity+1];
for (int i = 1; i <= capacity; i++) {
if (i >= weight[0]) {
dp[0][i] = dp[0][i-weight[0]] + value[0];
}
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 0; j <= capacity; j++) {
if (j >= weight[i]) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i]);
}
else {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
}
System.out.println(dp[n-1][capacity]);
}
}LeetCode 518 零钱兑换II
题目链接：leetcode.cn/problems/co...
思路
考虑动态规划五部曲：
- dp数组和下标含义：
dp[i][j]为使用下标为0-i的硬币组成总金额j的组合数 - 确定递推公式：
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-coins[i]] - dp数组如何初始化：初始化
dp[0][0]为1，初始化第一行 - 确定遍历顺序：从上到下，从左到右
- 举例推导dp数组：
解法
java
class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
int[][] dp = new int[coins.length][amount+1];
dp[0][0] = 1;
for (int j = 1; j <= amount; j++) {
if (j >= coins[0]) {
dp[0][j] = dp[0][j-coins[0]];
}
}
for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
for (int j = 0; j <= amount; j++) {
if (j >= coins[i]) {
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-coins[i]];
}
else {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
}
return dp[coins.length-1][amount];
}
}LeetCode 377 组合总和 Ⅳ
题目链接：leetcode.cn/problems/co...
思路
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。顺序不同的组合也视为不同，也就是求排列数。 target，nums[i]均为正数。
在遍历的时候，如果外层循环物品，内层循环背包，物品永远是按照顺序被加入的，这样求的是组合数。求排列数时，每个物品的任何相对位置都有可能，所以应该在内层循环物品，外层循环背包
考虑动态规划五部曲：
- dp数组和下标含义：
dp[i]为组成总和i的排列数 - 确定递推公式：
dp[i] = dp[i] + dp[i-nums[j]] - dp数组如何初始化：初始化
dp[0]为1 - 确定遍历顺序：从左到右
- 举例推导dp数组：以数组[1,2,3]，target为4为例
解法
java
class Solution {
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
int[] dp = new int[target+1];
// 初始化
dp[0] = 1;
// 递推
for (int i = 0; i <= target; i++) {
for (int j = 0; j < nums.length; j++) {
if (i >= nums[j]) {
dp[i] += dp[i-nums[j]];
}
}
}
return dp[target];
}
}kama 57 爬楼梯 （进阶）
思路
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。 每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？ 注意：给定 n 是一个正整数。
同样是求用1～m的排列填满容量为n的背包。
考虑动态规划五部曲：
- dp数组和下标含义：
dp[i]为组成总和i的排列数 - 确定递推公式：
dp[i] = dp[i] + dp[i-j] - dp数组如何初始化：初始化
dp[0]为1 - 确定遍历顺序：从左到右
- 举例推导dp数组：
解法
java
import java.util.*;
public class Main {
public static void main (String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int target = scanner.nextInt();
int numsLen = scanner.nextInt();
int[] dp = new int[target+1];
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= target; i++) {
for (int j = 1; j <= numsLen; j++) {
if (i >= j) {
dp[i] += dp[i-j];
}
}
}
System.out.println(dp[target]);
}
}今日收获总结
今日学习时长4小时。完全背包问题需要取同一物品遍历的行，因为背包中可能不止这一个物品。而求排列问题需要在外层遍历背包容量，内层遍历物品，因为加入物品的顺序不确定。