- 第 79 篇 -
Date: 2025 - 03 - 11
Author: 郑龙浩/仟濹
【前缀和与差分 二分搜索 C/C++】
已总结一维前缀和 与一维差分 相关内容，详见我的博客：
一维前缀和、一维差分。
已总结一维前缀和 与一维差分 相关内容，详见我的博客：
文章目录
洛谷 P1083 借教室
题目描述
在大学期间，经常需要租借教室。大到院系举办活动，小到学习小组自习讨论，都需要向学校申请借教室。教室的大小功能不同，借教室人的身份不同，借教室的手续也不一样。
面对海量租借教室的信息，我们自然希望编程解决这个问题。
我们需要处理接下来 n n n 天的借教室信息，其中第 i i i 天学校有 r i r_i ri 个教室可供租借。共有 m m m 份订单，每份订单用三个正整数描述，分别为 d j , s j , t j d_j,s_j,t_j dj,sj,tj，表示某租借者需要从第 s j s_j sj 天到第 t j t_j tj 天租借教室（包括第 s j s_j sj 天和第 t j t_j tj 天），每天需要租借 d j d_j dj 个教室。
我们假定，租借者对教室的大小、地点没有要求。即对于每份订单，我们只需要每天提供 d j d_j dj 个教室，而它们具体是哪些教室，每天是否是相同的教室则不用考虑。
借教室的原则是先到先得，也就是说我们要按照订单的先后顺序依次为每份订单分配教室。如果在分配的过程中遇到一份订单无法完全满足，则需要停止教室的分配，通知当前申请人修改订单。这里的无法满足指从第 s j s_j sj 天到第 t j t_j tj 天中有至少一天剩余的教室数量不足 d j d_j dj 个。
现在我们需要知道，是否会有订单无法完全满足。如果有，需要通知哪一个申请人修改订单。
输入格式
第一行包含两个正整数 n , m n,m n,m，表示天数和订单的数量。
第二行包含 n n n 个正整数，其中第 i i i 个数为 r i r_i ri，表示第 i i i 天可用于租借的教室数量。
接下来有 m m m 行，每行包含三个正整数 d j , s j , t j d_j,s_j,t_j dj,sj,tj，表示租借的数量，租借开始、结束分别在第几天。
每行相邻的两个数之间均用一个空格隔开。天数与订单均用从 1 1 1 开始的整数编号。
输出格式
如果所有订单均可满足，则输出只有一行，包含一个整数 0 0 0。否则（订单无法完全满足）
输出两行，第一行输出一个负整数 − 1 -1 −1，第二行输出需要修改订单的申请人编号。
输入输出样例 #1
输入 #1
4 3
2 5 4 3
2 1 3
3 2 4
4 2 4输出 #1
-1
2说明/提示
【输入输出样例说明】
第 1 份订单满足后，4 天剩余的教室数分别为 0 , 3 , 2 , 3 0,3,2,3 0,3,2,3。第 2 2 2 份订单要求第 2 天到第 4 4 4 天每天提供 3 3 3 个教室，而第 3 3 3 天剩余的教室数为 2，因此无法满足。分配停止，通知第 2 2 2 个申请人修改订单。
【数据范围】
对于 10 % 10\% 10% 的数据，有 1 ≤ n , m ≤ 10 1\le n,m\le 10 1≤n,m≤10；
对于 30 % 30\% 30% 的数据，有 1 ≤ n , m ≤ 1000 1\le n,m\le 1000 1≤n,m≤1000；
对于 70 % 70\% 70% 的数据，有 1 ≤ n , m ≤ 1 0 5 1 \le n,m \le 10^5 1≤n,m≤105；
对于 100 % 100\% 100% 的数据，有 1 ≤ n , m ≤ 1 0 6 1 \le n,m \le 10^6 1≤n,m≤106， 0 ≤ r i , d j ≤ 1 0 9 0 \le r_i,d_j\le 10^9 0≤ri,dj≤109， 1 ≤ s j ≤ t j ≤ n 1 \le s_j\le t_j\le n 1≤sj≤tj≤n。
NOIP 2012 提高组 第二天 第二题
2022.2.20 新增一组 hack 数据
思路
算法: 一维差分， 一维前缀和， 二分查找
利用 一维差分 与 一维前缀和 对 **第 i 天 ++需要++ 租借教室的数量(差分数组)**进行 差分标记 ，可以得出对应 区间标记，然后进行前缀和计算，得出第 i 天教室需要租借多少教室。
在前缀和的过程中进行判断，
-
如果 在前缀和的过程中 第 i 天 需要租借数量 > 可租借数量，则表示租借不了，此时直接返回错误提示，则不进行后续的前缀和操作。
然后，利用 二分搜索 找到 是哪一个订单超出了可租借的数量
-
如果在前缀和的过程中，所有第 i 天的租借数量 < 可租借数量，则表示每天都可以租借，直接打印答案为 0
代码
cpp
// 洛谷P1083借教室
// Author: 郑龙浩 / 仟濹
// Date: 2025-03-11
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int days, num; // 天数 订单数量
vector <long long> diff, arr;// 每天需要租借教室的数量, 每天可借最高数量
vector <int> l, r, value; // 借教室的起点, 借教室的终点，每天可以租借教室的数量
// 检查 第 1 天 ~ 第 n 天 是否满足所有订单，满足返回 1，不满足返回0
// 实际上就是对差分数组进行前缀和计算，如果有 某一天不满足订单数量，则返回0
// 如果每天都满足订单数量，则返回 1
bool check(int n){
fill(diff.begin(), diff.end(), 0);
// 差分标记 -- 订单数量多少，就标记多少
// 前 n 个订单的差分操作
for (int i = 1; i <= n; i++){
diff[ l[i] ] += value[i];
if (r[i] + 1 <= days) diff[r[i] + 1] -= value[i];
}
// 对进行差分标记后的数组进行前缀和计算 --> 得出每天应该借多少个教室
for (int i = 1; i <= days; i++){
diff[i] += diff[i - 1]; // 计算出当天的订单量
// 如果不满足订单量，即所需租借教室的数量，则返回0
if (diff[i] > arr[i])
return false;
}
// 如果每天的可租借教室数量满足订单，那么返回1
return true;
}
int main( void ){
cin >> days >> num;
diff.resize(days + 2); // 差分数组开辟的空间要大一个
arr.resize(days + 1); // 存储每天可以租借的教室 -- 即每天可以租借教室的上限
l.resize(num + 1);
r.resize(num + 1);
value.resize(num + 1);
for (int i = 1; i <= days; i++) // 输入每天可以租借教室的上限
cin >> arr[i];
// 输入 租借数量 租借开始 结束租借
for (int i = 1; i <= num; i++)
cin >> value[i] >> l[i] >> r[i];
// 检查 1 ~ num 的订单是否出错
if (check(num)){
cout << 0;
return 0;
}
int begin = 1, end = num; // 查找边界 --- 左边界 --- 右边界
int ans; // 存储答案
// 如果不能满足订单数量，则寻找是哪个(哪天的)订单不能满足
while (begin <= end){
int mid = (begin + end) / 2;
// 如果满足订单，则可以尝试寻找更靠后的订单
if ( check(mid) )
begin = mid + 1;
// 如果不满足订单，则必须寻找更靠前的订单
else {
ans = mid;
end = mid - 1;
}
}
//为什么是begin呢？？？
cout << -1 << endl << ans << endl;
return 0;
}