2025 年联合数学会议（JMM）的观察与思考
数学与人工智能（AI）的交汇点一直是科技领域的热门话题。2025 年一月，以"我们决定我们的未来：AI 时代的数学"为主题的联合数学会议（JMM）成为一场学术盛宴，同时也是一次对数学与 AI 文化差异的深刻观察。
JMM 由美国数学学会（AMS）和美国数学协会（MAA）联合主办，是美国最大的数学家聚会，被誉为"数学界的家庭聚会"。自 2009 年以来，这一会议始终吸引着众多参与者，并营造出一种独特的社区感。然而，2025 年的会议中，数学研究人员与工业界 AI 从业者之间的文化鸿沟变得尤为明显。这并不是一种价值判断------两个领域的工作都值得尊重，但它们由不同的力量和现实塑造，导致了不同的视角、价值观和方法。
随着 AI 在数学中潜在贡献的热情日益高涨，这种热情并不总是伴随着对数学本质的深刻理解。阐明这些差异并希望为更好的合作搭建桥梁，成为许多人的努力方向。同时，开发工具以使研究更具确定性，也成为一项重要任务。
2025 年 JMM 的观察
根据官方统计数据，2025 年 JMM 有超过 6,000 名与会者和 2,500 多场演讲，其中约 15% 明确聚焦于 AI 相关主题------与五年前相比显著增加，当时此类演讲仅占会议的不到 3%。
2025 年 JMM 在许多方面都呈现出对比。传统的数学会议一如既往地严谨而深入，而新兴的 AI 主题演讲则充满了推测和可能性。在整个会议期间，一种微妙的压力要求演讲者将 AI 主题融入他们的演讲中，无论是否相关。有些人富有创意地接受了这一挑战，而另一些人则礼貌地回避，专注于他们的核心研究。
在会议期间，一些关于数学家"被大量付费解决数学问题的邀请轰炸"的笑话流传开来，这些邀请旨在帮助训练 AI 模型。
一位资深教授的评论捕捉到了这种鸿沟的本质："他们的动机与我们的不同。"这句简单的话揭示了学术数学与工业界 AI 研究之间的根本差异。数学家传统上追求理解本身，而工业界研究人员最终必须交付能够为其组织创造价值的产品、功能或能力。
人们对 AI 发展的各个方面表达了公开的担忧：潜在的军事应用、研究缺乏透明度、巨大的能源消耗，以及随着研究集中在资金充足的私人实验室而日益增长的精英主义。许多人将其与艺术家对 AI 侵入其创作领域的反应相提并论------既有迷恋，也有适应和抵抗。
或许最能说明问题的是，几位数学家对 AI 研究日益增加的保密性表达了悲伤。数学长期以来以开放和透明为荣，结果自由分享和讨论。主要 AI 实验室对研究的封闭------以及合作的数学家无法公开讨论他们的工作------代表了与数学传统的重大文化冲突。这种紧张关系让人想起 Michael Atiyah 对研究保密性的警告："数学在开放中蓬勃发展；保密是其进步的毒药"（Atiyah, 1984）。
开放与保密之间的紧张关系在关于与工业界合作的讨论中尤为明显。William Thurston 在其开创性论文《论数学中的证明与进展》（1994）中强调，"数学是一项集体努力"，但多位与会者对 AI 研究实验室日益增加的保密性以及合作的数学家无法公开讨论他们的工作表示失望。
数学的本质
要理解这种文化鸿沟，必须首先理解数学的真正本质。Paul Halmos 在《我想成为数学家》（1985）中精彩地捕捉到了这一点："当一个年轻人看到一个困难定理的证明时，他会钦佩这一成就，并会想：这个证明是如何被发现的？我如何能发明这样的东西？书中没有给出任何提示。"这触及了一个基本事实：数学主要不是关于找到证明，而是关于建立理解。
Richard Feynman 在《别闹了，费曼先生！》（1985）中分享了一个关于数学家的幽默观察，实际上揭示了数学文化的深刻真理：
"在普林斯顿研究生院，物理系和数学系共用一个休息室......我仍然记得一个人坐在沙发上，非常努力地思考，另一个人站在他面前说，'因此某某是真的。''为什么是这样？'沙发上的人问。'这很简单！这很简单！'站着的人说，然后他迅速列出一系列逻辑步骤......这个过程以高速持续了大约十五分钟！最后，站着的人说完了，沙发上的人说，'是的，是的。这很简单。'
"我们物理学家笑了，试图理解他们。我们得出结论，'简单'意味着'已证明'。所以我们和数学家开玩笑：'我们有一个新定理------数学家只能证明简单的定理，因为每个被证明的定理都是简单的。'"
然而，在数学界，"简单性"实际上反映了最高的追求：深入理解一个概念，使得最初看起来复杂的东西变得显而易见。这就是为什么希尔伯特问题的解决方案------曾经被认为是数学中最具挑战性的问题------最终可以在本科课程中作为快速推论教授。
这种对理解的优先考虑解释了为什么黑箱证明虽然偶尔被接受，但很少被认为是令人满意的。证明的价值通常在于它能够阐明为什么一个结果是正确的，而不仅仅是它是否正确。以 Apéry 对 ζ(3) 的无理性证明为例：最初是神秘的，但它最终导致了 Beukers 积分和其他发展，这些发展融入了一个更广泛的理论框架。
这种对深入理解的追求也解释了数学研究生的常见经历：向导师提问，却被告知"读这些书，几个月后再来"。有时会有快速答案，但这可能不会培养正确的思维方式。甚至听到教授警告说，读错书可能会"导致脑损伤"------这是一种形象的说法，表示过早或不恰当的解释可能会阻碍更深层次的理解。正如高斯所说，数学掌握"没有捷径"。
数学文化与价值观
数学非常重视优雅。G.H. Hardy 在《一个数学家的辩白》中著名地主张数学是一种美学追求，堪比诗歌或绘画。这种对美和优雅的关注不仅仅是风格上的偏好------它通常会导致更深刻的见解和更强大的概括。
这种文化还以深刻的谦逊为标志，正如牛顿所说的"站在巨人的肩膀上"。年轻的数学家很快意识到，尽管他们有天赋和抱负，但他们必须首先彻底理解前人的工作。那些跳过这一步，认为他们可以在不掌握基础的情况下彻底改变一个领域的人，往往会被社区称为"怪人"。
数学本质上是开放和透明的。结果自由分享，方法公开讨论，社区集体验证并建立在已有工作的基础上。这种透明性不仅仅是哲学上的------它是实际的，使数学家能够相互学习并协作推动该领域的发展。
数学中的人性因素至关重要，但常常被低估。虽然数学真理可能是客观的，但发现它们的过程是深深人性化的，依赖于直觉、创造力和协作。尽管从理论上讲，任何人都可以参与数学研究（鉴于其开放和明确的性质），但导师提供的指导以及大学培养的社区仍然是无价的。导师不仅仅是指导研究；他们还帮助学生培养品味、直觉以及驾驭浩瀚数学文献的能力。《普林斯顿数学指南》（2008）中有一个名为"给年轻数学家的建议"的部分，由 Sir Michael Atiyah、Béla Bollobás、Alain Connes、Dusa McDuff 和 Peter Sarnak 等人撰写，他们都强调了导师指导和社区在数学发展中的重要性。
数学中的归属突显了这种人性维度。结果通常以人名命名，而不是功能性描述，例如"Tate 论文"、"Langlands 纲领"或 CFKRS（Conrey、Farmer、Keating、Rubinstein 和 Snaith）等合作作品。这些名字通常不是自封的，而是由社区自然产生的。有一个著名的轶事，Constance Reid 在《希尔伯特》（1970）中记载，希尔伯特在一次讲座后问道："希尔伯特空间到底是什么？"
数学文化中一个引人注目的特征是字母顺序作者署名规范。与许多科学领域不同，数学没有"第一作者"或"资深作者"的概念；贡献者只是按字母顺序列出。正如 Ludo Waltman 在《科学出版中字母顺序作者署名的实证分析》（2012）中所记录的，超过 75% 的数学论文使用字母顺序排列，而在医学和生物学中这一比例不到 4%。也有一些例外，比如 Adleman 坚持在 RSA 论文中署名最后。
这反映了数学中更深层次的文化价值观。几位演讲者指出，数学与其他领域在导师与学生出版物方面的鲜明对比。虽然许多学科期望导师成为学生论文的合著者，但美国数学学会的指导方针是，智力贡献应通过作者身份而非角色或职位来体现。一位年轻数学家描述了她被其他部门的同事震惊的经历，他们假设她的导师会成为她论文工作的合著者，她引用了导师的回应："如果我贡献足够多以至于成为合著者，你的论文就不会有多少内容，对吧？"正如 Peter Sarnak 在《给年轻数学家的建议》（2008）中指出的那样："数学博士生被期望相当独立地工作，而且他们通常确实如此。"
数学的过程
数学需要极大的耐心。Terence Tao 在他的博客文章《耐心点》（2007）中建议年轻数学家，"从对问题的第一个基本洞察到完全解决，可能需要数年时间。"许多数学家报告说，由于需要高度集中注意力，他们每天只能进行大约两小时的真正高效的研究时间。在 Jacques Hadamard 的《数学领域中的发明心理学》（1945）中，他记录了数学思维通常需要长时间的无意识处理，并伴随着洞察的时刻。
阅读数学论文同样具有挑战性，有时需要一整天来处理一页内容。这不是被动阅读，而是主动参与：验证主张、通过例子工作，并将新想法与已有知识联系起来。一些最富有成效的日子包括盯着空白页几个小时，写下单个方程，并对这一微小进展感到由衷的兴奋。
Andrew Wiles 花了七年时间研究费马大定理，他反思道："也许我可以用穿越一座黑暗的未探索豪宅的经历来描述我做数学的感受"（PBS Nova，《证明》，1997）。将这一证明形式化的持续努力说明了数学形式化的复杂性和资源密集性，而像 Lean 中的 mathlib（一个形式化证明验证系统）这样的雄心勃勃的项目估计只包含已知数学定义和证明的约 1%。
数学知识的规模令人震惊。最好的本科课程通常只能让学生接触到 20 世纪中叶的数学发展。最后被认为对该领域有全面了解的数学家是希尔伯特和庞加莱，那已经是一个多世纪以前的事了。
数学语言的精确性和密度常常让其他学科的人感到震惊。正如 Norman Steenrod 在《如何写数学》（1973）中所观察到的，数学写作旨在"以最少的阅读时间提供最大信息"------这种效率必然产生需要仔细解密的密集文本。James Kaput 在《数学与学习》（1987）中的研究表明，数学符号作为一种认知工具，将复杂概念压缩为可管理的符号。在攻读博士学位期间，许多人在其他部门上课时亲身经历了这种文化冲击。工程和计算机科学课程通常在前几节课中激发学生的兴趣并解释潜在应用。相比之下，研究生数学研讨会更像学徒制------立即深入密集的材料，并理解掌握将逐渐揭示底层结构及其应用。
在担任助教期间，许多学生从根本上误解了数学的难度。许多人带着足够的记忆和学习就能算法化地解决任何考试问题的期望而来。他们常常震惊地发现，即使是教师也必须进行大量的问题解决，尝试多种方法并在找到解决方案之前经历失败。正如 Alan Schoenfeld 在其开创性著作《数学问题解决》（1985）中所记录的那样，数学专业知识的特点不是记忆，而是战略思维、启发式方法以及对自身问题解决过程的元认知意识。
AI 与数学
在 JMM 上，关于 AI 如何为数学做出贡献的讨论很多。有趣的是，大多数数学家对 AI 创造新数学并不感兴趣，而是对处理和组织现有知识感兴趣------帮助连接领域、在子领域之间翻译符号，并自动化常规计算。
Yann LeCun 的演讲讨论了基于下一个标记预测的大型语言模型在数学推理中的局限性，同时强调了像 JEMA 这样更有前景的方法。几位演讲者指出，AI 工具可能对搜索和组织迅速扩展的数学文献特别有价值------许多人认为，通过传统方法管理这一挑战越来越困难。
不同的价值体系
在一次小组讨论中分享的一个揭示性轶事突显了这种文化鸿沟：当 AI 系统重现已知的数学结果时，数学家们感到兴奋（认为这是系统能力的验证），而 AI 研究人员则感到失望（他们希望有新的发现）。这反映了根本不同的目标：数学家寻求对已有真理的更深理解，而 AI 研究人员通常优先考虑新颖的结果。数学家认为这是系统能力的验证及其理解现有数学的潜力，而 AI 研究人员则希望有新的发现。
几位演讲者讨论了数学相关性的挑战：在可以证明的无限多真实陈述中，哪些是重要的？数学不仅重视"真实"和"可证明"的结果，还重视"我们关心"的结果------这一判断需要数学品味、背景和社区价值观。
人们对 AI 在日常数学工作中的潜力表示了真正的热情。Robert Ghrist 使用 AI 加速教科书编写的经验（详见《实用 AI 为工作中的数学家》）作为一个支持而非取代数学思维的务实应用引起了特别兴趣。
形式化方法与自然语言方法之间的辩论反映了另一种紧张关系。一些数学家支持像 Lean 这样的形式化证明系统，它们提供严格的验证，但需要翻译成特定的形式化语言。其他人则倡导更符合数学家通常交流方式的自然语言方法。这两种方法都有其优点，但它们反映了不同的优先事项和价值观。
也许 AI 研究与数学之间最根本的区别在于它们生成知识的方法。AI 研究------尤其是深度学习------主要是经验性的。正如几位演讲者所指出的，这种经验性焦点常常与传统理论框架相矛盾。Vladimir Vapnik 的统计学习理论是经典机器学习的基础，他在 1998 年的著作中对神经网络表示怀疑，认为它们理论上无法训练以完成许多复杂任务。Zhang 等人在 2017 年发表的具有影响力的论文《理解深度学习需要重新思考泛化》直接面对了这一脱节，记录了深度学习如何在理论上认为不可能的情况下经验性地取得成功。
未来影响与担忧
一个引发特别关注的问题是：如果 AI 系统产生了一个像黎曼猜想这样的重大猜想的证明，但这个证明过于复杂以至于人类无法理解，会发生什么？这样的结果会令人满意吗？它会推动数学理解吗？共识似乎是，虽然这样的证明可能在技术上解决了猜想，但它无法提供数学家真正寻求的更深层次的理解。
一些 AI 研究人员自信地预测，AI 将在五年内解决一个重大的开放问题------许多数学家对此表示怀疑，这并不一定是对 AI 能力的怀疑，而是对什么构成有意义的数学进步的怀疑。没有概念进步的技术成就对大多数数学家来说是不完整的。
弥合鸿沟
《美国数学学会公报》关于 AI 与数学的特刊（2023）为理解这些不同观点提供了良好的基础。Jeremy Avigad 在他的文章《数学与形式化转向》中写道："数学一直是关于提出抽象，使我们能够更有效地思考、精确地交流、解决难题，并就我们的主张是否合理达成稳定共识......我们可以用技术做很多事情，但如果我们没有用它来做这些事情，那么我们可能不是在从事数学。"
Akshay Venkatesh 提出了一个有趣的贝叶斯模型，用于解释数学家如何为结果分配重要性：当一个猜想暗示另一个猜想时，我们会更新对两者难度的估计；当一个数学家证明了一个具有挑战性的结果时，我们会更新对这位数学家和该结果的评估。这一框架在他的演讲《数学中的价值与难度》中提出，表明 AI 系统可能会极大地改变这些计算，但许多问题可能仍然无法解决，从而保留人类洞察的价值。
潜在的协作框架
从对数学需求的诚实评估中，AI 与数学协作的最有前景的领域包括：
- 文献管理：AI 可以帮助数学家应对海量的已发表文献，识别相关论文以及看似不同领域之间的联系。
- 定理验证：由 AI 增强的形式化验证系统可以帮助检查证明并识别细微的错误或漏洞。
- 重构证明：AI 可能有助于以更通用或优雅的形式重新表述现有结果，揭示潜在模式。
- 教学与可访问性：AI 工具可以使数学对学生和没有传统机构访问权限的人更加可访问。
- 反例生成：AI 系统可能擅长找到错误猜想的反例，使数学家免于追求无果的路径。
在 AI 时代维护数学文化
在整个讨论中，一个一致的主题是：在拥抱技术进步的同时，保持数学的人性化、开放性和以理解为中心的文化的重要性。
几位演讲者提出了尊重数学价值观的协作框架：开放研究共享，注重解释而不仅仅是结果，并保持人类的监督和解释。共识是，AI 应作为扩展人类数学能力的工具，而不是取代人类数学家。
结论
数学与 AI 之间的文化鸿沟并非不可逾越的障碍，而是一个相互学习和成长的机会。两个社区都带来了宝贵的视角：数学提供了严谨、耐心和美的深厚传统，而 AI 研究则带来了能量、资源和新的计算方法。
弥合这一鸿沟需要相互尊重和理解。阿尔伯特·爱因斯坦曾说："所有科学的宏伟目标是用最少数量的假设或公理，通过逻辑推理覆盖最大数量的经验事实"（引自 Dyson, 2006）。这一追求将数学家和 AI 研究人员团结在一起，尽管他们可能从不同的角度接近它。
在尊重双方传统最佳部分的合作中有着巨大的潜力，许多工具正在被开发以实现这一目标。AI 不会"解决"数学，也不应该希望它这样做，但它可能帮助更高效地探索数学领域，连接不同的知识领域，甚至可能为人类的创造力和洞察力提供新的方向。
数学已经发展了数千年，吸收了新的工具和方法，同时保持了其本质特征。相信它将在 AI 时代继续这样做------不是通过抵制变化，而是通过将这些新能力深思熟虑地融入其丰富的知识传统中。