1. 算法效率
1.1 如何衡量一个算法的好坏？
在计算机程序设计中，衡量算法优劣的核心标准是效率。但效率不仅指运行速度，还需要综合以下因素：
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时间因素：算法执行所需时间
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空间因素：算法运行占用的内存空间
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正确性：算法能否正确处理所有输入
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可读性：代码是否易于理解和维护
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健壮性：能否处理非法输入
其中，时间复杂度 和空间复杂度是理论分析中最重要的两个指标，它们直接反映了算法的效率本质。
1.2 算法的复杂度
算法复杂度分为两个维度：
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时间复杂度：算法执行时间随数据规模增长的趋势
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空间复杂度：算法运行所需内存空间随数据规模增长的趋势
现代计算机的存储容量普遍较大，因此我们更关注时间复杂度的优化。
2. 时间复杂度
2.1 时间复杂度的概念
时间复杂度 不是计算程序的具体运行时间，而是描述算法中基本操作的执行次数 与问题规模n之间的数学关系。
示例分析
void Func(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
++count; // 执行n²次
}
}
for (int k = 0; k < 2 * n; ++k) {
++count; // 执行2n次
}
int m = 10;
while (m--) {
++count; // 执行10次
}
}
总执行次数：F(n)=n2+2n+10F(n)=n2+2n+10
当n趋近于无穷大时，n2n2 起主导作用，时间复杂度为 O(n2)O(n2)。
2.2 大O的渐进表示法
大O表示法描述算法的最坏情况复杂度，核心规则：
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用常数1取代所有加法常数
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只保留最高阶项
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去除最高阶项的系数
常见时间复杂度对比
示例代码
// O(1) 常数阶
int x = 100, y = 200;
int z = x + y;
// O(n) 线性阶
for(int i=0; i<n; i++){
printf("%d",i);
}
// O(n²) 平方阶
for(int i=0; i<n; i++){
for(int j=0; j<n; j++){
printf("%d",i+j);
}
}
// O(log n) 对数阶
int i = 1;
while(i < n){
i *= 2;
}
3. 空间复杂度
3.1 空间复杂度定义
空间复杂度衡量算法运行过程中临时占用的存储空间大小，同样使用大O表示法。包括：
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局部变量占用的空间
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递归调用的栈空间
示例分析
// O(1) 空间复杂度
void BubbleSort(int* arr, int n) {
for(int end=n; end>0; --end){
int flag = 0;
for(int i=1; i<end; ++i){
if(arr[i-1]>arr[i]){
Swap(&arr[i-1], &arr[i]);
flag = 1;
}
}
}
}
// O(n) 空间复杂度（递归深度）
long long Fac(int n) {
if(n == 0) return 1;
return n * Fac(n-1);
}
// O(n) 空间复杂度（动态数组）
int* Fibonacci(int n) {
int* fib = (int*)malloc(n * sizeof(int));
fib[0] = 0; fib[1] = 1;
for(int i=2; i<n; ++i){
fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
}
return fib;
}
4. 复杂度对比总结
| 复杂度类型 | 增长趋势 | 典型算法 |
|---|---|---|
| O(1) | 常数级 | 哈希查找 |
| O(n) | 线性增长 | 顺序查找 |
| O(n²) | 平方级增长 | 冒泡排序 |
| O(n³) | 立方级增长 | 矩阵乘法（朴素） |
| O(2ⁿ) | 指数爆炸 | 递归求斐波那契数列 |
| O(log n) | 对数增长 | 二分查找 |
| O(n log n) | 线性对数增长 | 快速排序 |
5. 实际开发建议
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时间与空间的权衡：在内存充足时优先优化时间效率
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递归算法的代价：递归可能带来O(n)的空间复杂度，需警惕栈溢出
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避免最优陷阱：理论上最优的算法不一定适合实际工程场景
理解复杂度分析，能帮助我们在设计算法时做出更明智的选择。通过大O分析，可以快速评估算法在不同数据规模下的表现，这是每个程序员必须掌握的核心技能。