【计算几何】闵可夫斯基差演示

本文涉及知识点

数学几何

演示工具

演示工具基于Cad，支持Cad2013及更高版本。

亲士库版本：2026.9.4

Cliper库版本：2.0.0.0

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主要用途

临界多边形(NFP)--排样算法的核心

N F P ( P , Q ) = P ⊕ ( − Q ) NFP(P,Q)=P\oplus (-Q) NFP(P,Q)=P⊕(−Q)。它表示零件P绕着Q滑动时，参考点的轨迹。

碰撞检测（配置空间障碍)

A ⊕ ( − B ) A \oplus (-B) A⊕(−B)定义了配置空间的障碍物区域。

多边形偏移

对多边形膨胀(向外偏移)本质求 P ⊖ 圆盘。 P \ominus 圆盘。 P⊖圆盘。

操作说明

一，选择闵可夫斯基差的被减数(模板图像)。

二，选择闵可夫斯基的减数。

注意：只能选择多义线，无论多义线是否闭合都当闭合处理。

三，计算出闵可夫斯基差。

四，将闵可夫斯基差的结果转成闭合多义线，逆时针红色，顺时针黄色。

代码

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using System;
using System.Collections.Generic;
using Autodesk.AutoCAD.ApplicationServices;
using Autodesk.AutoCAD.DatabaseServices;
using Autodesk.AutoCAD.EditorInput;
using Autodesk.AutoCAD.Geometry;
using Autodesk.AutoCAD.Runtime;
using Clipper2Lib;
using QinShiZACad;
using QinShiMath;
using QinShiBase;

csharp 复制代码

               [CommandMethod("MinkowskiDiff")]
        public void MinkowskiDiff()
        {
            Minkowski("闵可夫斯基差", (p1, p2) => Clipper.MinkowskiDiff(p1, p2,true));
        }
        [CommandMethod("MinkowskiSum")]
        public void MinkowskiSum()
        {
            Minkowski("闵可夫斯基和", (p1, p2) => Clipper.MinkowskiSum(p1, p2, true));
        }
        void Minkowski(string strName, MinkowskiFun fun)
        {
            QinShiZACad.CSelAEntity sel1 = new CSelAEntity($"请选择一个多义线做为{strName}的被减数(模板图像)\n");
            var pr1 = sel1.Sel();
            if (pr1.Status != PromptStatus.OK)
            {
                return;
            }
            QinShiZACad.CSelAEntity sel2 = new CSelAEntity($"请选择一个多义线做为{strName}的减数\n");
            var pr2 = sel2.Sel();
            if (pr2.Status != PromptStatus.OK)
            {
                return;
            }

            Polyline pl1, pl2;
            using (var tr = CadBase.GetDefaultDatabase().TransactionManager.StartTransaction())
            {
                pl1 = tr.GetObject(pr1.ObjectId, OpenMode.ForRead) as Polyline;
                pl2 = tr.GetObject(pr2.ObjectId, OpenMode.ForRead) as Polyline;
            }
            if (null == pl1) { return; }
            if (null == pl2) { return; }
            PathD path1 = PolylineToPath(pl1);
            PathD path2 = PolylineToPath(pl2);
            PathsD path3 = fun(path1, path2);

            PathD PolylineToPath(Polyline pl)
            {
                PathD path = new PathD();
                for (int i = 0; i < pl.NumberOfVertices; i++)
                {
                    var pt = pl.GetPoint2dAt(i);
                    path.Add(new PointD(pt.X, pt.Y));
                }
                return path;
            }
            var pls = path3.ToPolylines();
            for (int i = 0; i < Math.Min(7, pls.Count); i++)
            {
                double area = Clipper.Area(path3[i]);
                int iColor = 0;
                if (Math.Abs(area) < 1e-9)
                {//退化情况
                    iColor = 0;
                }
                else if (area > 0)
                {
                    iColor = 1;
                }
                else
                {
                    iColor = 2;
                }
                pls[i].ColorIndex = iColor;//外边界红色，孔洞黄色
            }
            CadBase.AddEnitys(pls.ToArray(), "0", CadBase.GetDefaultDatabase());
        }
        delegate PathsD MinkowskiFun(PathD path1, PathD path2);

csharp 复制代码

   public static class PolylineExtensions2
    {
        /// <summary>
        /// PathD 转回 Polyline（不关联数据库）
        /// </summary>
        public static Polyline ToPolyline(this PathD path, double tolerance = 1e-4)
        {
            Polyline pl = new Polyline();
            for (int i = 0; i < path.Count; i++)
            {
                PointD pt = path[i];
                pl.AddVertexAt(i, new Point2d(pt.x, pt.y), 0, 0, 0);
            }
            // 如果 PathD 首尾点足够接近（差值小于容差），则认为它是闭合的
            if (path.Count > 1)
            {
                PointD first = path[0];
                PointD last = path[path.Count - 1];
                //if (Math.Abs(first.x - last.x) < tolerance &&
                //    Math.Abs(first.y - last.y) < tolerance)
                //{
                //    pl.Closed = true;
                //}
                // 只有至少3个点且面积非零的路径才视为有效闭合多边形
                if (path.Count >= 3 && Math.Abs(Clipper.Area(path)) > 1e-6)
                {
                    pl.Closed = true;
                }
            }
            return pl;
        }

        /// <summary>
        /// 将 PathsD 转换为 Polyline 列表
        /// </summary>
        public static List<Polyline> ToPolylines(this PathsD paths)
        {
            var polylines = new List<Polyline>();
            foreach (var path in paths)
            {
                // 调用已有的单个 PathD → Polyline 扩展方法
                polylines.Add(path.ToPolyline());
            }
            return polylines;
        }
    }

错误解法

直接通过前三个点的差乘判断是逆时针或顺序时针是错误的，一：三点共线。二，可能是凹角。用clipper库的有向面积判断更合理。

查看视频

https://edu.csdn.net/course/detail/41418

如果视频审核中，可以看图。

将原点和被减数一起平移，原点在闵可夫斯基差上，则被减数和减数相切。

边长100的正方形，左下角是圆点，作为模板图像(被减数)

下面部分闵可夫斯基差的颜色不对，工具是正确的。

矩形

原图

效果图：黄色是结果

凹多边形

原图

效果图：黄色是结果

凸多边形

原图

效果图：红色黄色是结果

正100多边形模拟圆作为模板图像

多边形是否重叠

如果两个多边形P、Q重叠，则其闵可夫斯基差D必定包括原点。如果两个多边形不重叠，则P与Q最小距离等于原点到D的最小距离。

扩展阅读

计算几何为骨，排样优化为魂
作品：亲士CAD工具箱
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活到老，学到老。明朝中后期，大约50%的进士能当上堂官(副部及更高)；能当上堂官的举人只有十余人。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

【计算几何】闵可夫斯基差演示

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相关定义

主要用途

临界多边形(NFP)--排样算法的核心

碰撞检测（配置空间障碍)

多边形偏移

操作说明

代码

错误解法

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边长100的正方形，左下角是圆点，作为模板图像(被减数)

矩形

凹多边形

凸多边形

正100多边形模拟圆作为模板图像

多边形是否重叠

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测试环境