本文涉及知识点
预备知识
求小于a的数的数量
下面是伪代码
cpp
int i=0;
for（;(i<xs.size())&&(xs[i]<a));i++);如果xs是升序排序，代码执行结束后xs的钱i个元素就是全部小于a的数。时间复杂度：O(k+1)，k是xs中小于a的元素的数量。
快速排序
选择一个标兵（主元素pivot），将小于标兵的值放到left中，其余值放到right中。对left,right分别进行快速排序。
最佳时间复杂度和平均时间复杂度都是O(NlogN)，递归logN层，每层递归，任意元素排序且仅排序一次。最坏O(NN)。
空间复杂度：O(NlogN)，可以优化到O(logN)。
最简单的实现，标兵是首元素或尾元素。这样会有问题：对于已经升序或降序，left和right 有一个为空。
改进的方式：
一，随机选择。
二，(最小值+最大值)/2。
三，中位数的中位数。
四，三数取中，首元素中间元素尾元素的平均值。
极端情况：数值全部相同也可能有问题。
中位数的中位数
将所有的数分成5个一个组，排序。arr 收集各组的中位数，第arr求中位数的中位数。最终结果在30%到70%分位，无法保证刚好是中位数。令最终结果是y，则有一半的初始组 ≥ y \ge y ≥y，这些组至少3个元素 ≥ y \ge y ≥y，故至少30%的元素小于y。
堆排序
插入删除元素时间复杂度O(logN)。空间复杂度O(n)。由于是满二叉树，故最多logN层，每层只会改变一个节点。小根堆，只需要保证各子树根节点最小，兄弟节点的大小关系不限。
快速选择算法（Quickselect）
从未排序数组中选择最小的k个元素，是快速排序的变种。快速选择算法的平均时间复杂度是 O(N)，但最坏情况下的时间复杂度是 O(N^2) ，所以要随机化。
容易理解的版本：
选择标兵，将小于标兵的值放到left中，其它值放到right中。
如果left.size等于k，left就是答案。
如果left.size>k，快速选择(left,k)。
如果left.size()< k，left的全部元素是答案，快速选择(right,k-left.size())。
每次递归都只需要处理left或right，而每次调用left和right的期望长度减半。
从堆中选择<a的所有数
如果堆的根节点<a,将根节点放到结果中，递归处理左右子节点。
如果堆的根节点 ≥ a \ge a ≥a中，返回。
空间复杂度：O(N)
时间复杂度：O(K)
如果一个节点<a，则一定会被处理到。
如果一个节点任意祖先 ≥ a \ge a ≥a，它不会被处理到。
节点 ≥ a \ge a ≥a，父节点<a的节点数不会超过2k。
1 线段树（原书第三节）
刷力扣和洛谷图时，研究过，就不赘述了。
2 优先查找树
离线查询查询区域的点
已知二维点集，各点x,y各不相同，如果相同，可以用合成数进行预处理。将四维查询Q=(left,top,right,bottom)拆成两个三维查询Q1=(left,top,bottom),Q2=(right,top,bottom)，则Q=Q2-Q1。将三维查询放到datas中，按x的升序排序。
依次处理datas，
将x小于等于datasi.x的坐标放到二叉树中set，it1=set.lower(top),it2= set.upper(bottom), it1,it2之间的点是全部答案。
优先查找树
如果强制在线，则上述方法失效。
优先查找树是小根堆，即任意子树根节点pt.x最小。性质一 。
任意子树，除根节点外的节点，按下述标准拆分左右子树：按(y,x)排序，前半部分属于左子树，右半部分属于右子树。
性质二 ：根节点是root，则左子树left的节点的y ≤ y 1 ≤ \le y1 \le ≤y1≤ 右子树right的节点的y。left的左右节点是left1,left2，则
− ∞ < l e f t 1. y ≤ y 2 ≤ l e f t 2. y ≤ y 1 -\infty < left1.y \le y2 \le left2.y \le y1 −∞<left1.y≤y2≤left2.y≤y1。right的左右节点是right1,right2。则 y 1 ≤ r i g h t 1. y ≤ y 3 ≤ r i g h t 2. x < + ∞ y1 \le right1.y \le y3 \le right2.x < +\infty y1≤right1.y≤y3≤right2.x<+∞
对子树T，查询Q,top,right,bottom。
如果T的根节点.pt.x > right retrun
如果pt.y在left,right之间，将pt放到结果中。
如果yMid不在Q中，则只需要处理一个节点。
如果yMid在Q中，则需要处理两个节点，新的查询Q1,Q2和对应节点的上边界或下边界相等。
如果Q和T的上（下）边界相等，不失一般性，令上边界相等。
如果下边界相等，则无需处理右节点。
如果查询的右边界对于节点的右边界，则右节点正常处理。左节点，取所有小于right的点。
如果查询的右边界小于节点的右边界，则左节点正常处理。
结论 ：任意层要么处理一个节点。要么处理两个节点，但这两个节点的边界和子查询的一个边界重合。
故时间复杂度：O(K+logN)。空间复杂度：O(N)
3 区间树（原书第一节）
查询和某矩形有交点的水平或垂直线段。许多书籍线段树和区间树是同一个东西，本章讲解的区间树不是线段树。
线段的一个或两个端点在矩形内
利用分散层叠技术优化二维树后，可以在O(LogN+k)的时间内，查询指定区域的点。
引理10.1：设S为平面上一组共n条与坐标轴平行的线段。对于任一与坐标轴平行的查询窗口，我们都可在O(logn+k)时间内，将至少有一个端点落在该查询窗口内的线段报告出来：为此需要设计一个占用O(nlogn)空间的数据结构，其预处理时间为O(nlogn)。其中,k为实际报告出来的线段条数。
N条已知线段S，求和未知垂直直线L相交的线段
由于L是垂直直线，故可忽略线段的y。S共有2N个线段端点，xMid 是这些端点中位数x。线段的右端点<xMid，放到left；线段的左端点> xMid，放到right；其它放到mid。
令L:= x=x'，则
如果x'<mid，无需处理right; 递归处理left；mid中的线段右端点 ≥ x m i d > x ′ \ge xmid >x' ≥xmid>x′，预处理时对mid线段的左端点按升序排序，可在常数时间得到这些点。
如果x'=mid，mid就是答案。
如果x'>mid，无需处理left；递归处理right;mid中的线段左端点 ≤ x m i d < x ′ \le xmid <x' ≤xmid<x′，预处理时对mid线段右端点按降序排序，可在常数时间内得到这些点。
由于xMid是端点x的中位数，故left和right顶多有N个端点，即最多N/2条线段。故所有层次的节点数 ≤ N + N / 2 + N / 4 + N / 8 ⋯ < 2 N \le N+N/2+N/4+N/8 \cdots<2N ≤N+N/2+N/4+N/8⋯<2N
故时间复杂度是:O(K+LogN)
定理10.4：给定一组共n个区间I,其对应的区间树占用O(n)空间，而且能够在O(nlogn)时间内构造出来。对于任意待查询点，都可以借助区间树，在O(logn+k)时间内将包含改点的所有区间报告出来，其中k为实际被报告出来的区间数目。
线段与矩形相交但两个端点都在矩形之外
分两种情况：线段与矩形的左右边界相交；线段与矩形的上下边界相交。xy互换后，其实是一种情况。
我们将区间树扩展一下，使得可以针对垂直线段。left和right处理相同。mid的处理略有不同，以x'<xmid为例。如果线段的左端点在以下区域，则与待查线段L相交：L的左边，L.x1的下边，L.x2的上边。用2维KD树或区域树解决。
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
