一、牛优化算法
牛优化（ OX Optimizer，OX）算法由 AhmadK.AlHwaitat 与 andHussamN.Fakhouri于2024年提出，该算法的设计灵感来源于公牛的行为特性。公牛以其巨大的力量而闻名，能够承载沉重的负担并进行远距离运输。这种行为特征可以被转化为优化过程中的优势，即在探索广阔而复杂的搜索空间时保持强大的鲁棒性。公牛不仅强壮，还具有灵活性、稳健性、适应性和协作能力等特点。这些特点使得OX优化器能够在不断变化的环境和优化需求中有效地找到最优解。
算法步骤：
参数初始化 ：首先，定义问题的解空间范围、种群规模以及最大迭代次数等关键参数，并根据需要选择合适的适应度函数来评估个体的优劣。
种群初始化 ：生成一个初始种群，其中每个个体代表问题的一个候选解。这些个体的位置在解空间中随机分布，以确保初始搜索的多样性。
适应度评估 ：计算种群中每个个体的适应度值，该值反映了个体在当前解空间中的优劣程度。
繁殖选择 ：
精英策略：保留适应度最高的个体，确保优质解不会因后续操作而丢失。
杂交操作：从当前种群中选择个体进行杂交。杂交过程通过交换两个父代个体的基因信息，生成新的子代个体。这一操作有助于引入新的解特征，扩大搜索范围。
变异操作：对子代个体进行变异。每个个体有较高的概率随机选择一个维度进行微小的随机扰动，这种变异操作能够进一步增强种群的多样性，避免过早收敛。
局部优化器 ：
置换探索：从当前最优解或随机子集中选取个体，通过局部优化器进行置换探索。例如，随机暴露置换群中的元素，并通过应用均匀分布的随机值来修正这些元素，从而生成新的置换。这一过程能够精化解的质量，提高局部搜索的效率。
整体最优解集中消去与鲁棒优化 ：在每次迭代中，跟踪由局部优化器生成的置换，并将这些置换中的所有解集中到集合S中。对于每个新的解x，检查是否存在另一个解x'∈S，其分量在设定的容差范围内。通过持续集中消去，有效保持算法的推进，确保搜索过程的高效性和鲁棒性。
迭代更新：重复上述步骤，直到达到最大迭代次数或满足其他停止条件。在整个优化过程中，种群逐渐进化，适应度较高的个体更有可能被保留下来，而适应度较低的个体则被淘汰。
参考文献：
1\]Al Hwaitat AK, Fakhouri HN. The OX Optimizer: A Novel Optimization Algorithm and Its Application in Enhancing Support Vector Machine Performance for Attack Detection. Symmetry. 2024; 16(8):966. https://doi.org/10.3390/sym16080966
## 2. 无人机路径规划数学模型
### 2.1 路径最优性
为了提高无人机的操作效率，规划的路径需要在特定的应用标准下达到最优。在我们的研究中，主要关注空中摄影、测绘和表面检查，因此选择最小化路径长度作为优化目标。由于无人机通过地面控制站（GCS）进行控制，飞行路径 X i X_i Xi 被表示为无人机需要飞越的一系列 n n n 个航路点的列表。每个航路点对应于搜索地图中的一个路径节点，其坐标为 P i j = ( x i j , y i j , z i j ) P_{ij} = (x_{ij}, y_{ij}, z_{ij}) Pij=(xij,yij,zij)。通过表示两个节点之间的欧几里得距离为 $\| \\overrightarrow{P_{ij}P_{i,j+1}} \|，与路径长度相关的成本 F 1 F_1 F1 可以计算为：
F 1 ( X ) = ∑ j = 1 n − 1 ∥ P i j P i , j + 1 → ∥ F_1(X) = \\sum_{j=1}\^{n-1} \\\| \\overrightarrow{P_{ij}P_{i,j+1}} \\\| F1(X)=j=1∑n−1∥PijPi,j+1 ∥
### 2.2 安全性和可行性约束
除了最优性之外，规划的路径还需要确保无人机的安全操作，引导其避开操作空间中可能出现的威胁，这些威胁通常由障碍物引起。设 K K K 为所有威胁的集合，每个威胁被假设为一个圆柱体，其投影的中心坐标为 C k C_k Ck，半径为 R k R_k Rk，如下图 所示。
对于给定的路径段 ∥ P i j P i , j + 1 → ∥ \\\| \\overrightarrow{P_{ij}P_{i,j+1}} \\\| ∥PijPi,j+1 ∥，其相关的威胁成本与它到 C k C_k Ck 的距离 d k d_k dk 成正比。考虑到无人机的直径 D D D 和到碰撞区域的危险距离 S S S，威胁成本 F 2 F_2 F2 在障碍物集合 K K K 上计算如下：
F 2 ( X i ) = ∑ j = 1 n − 1 ∑ k = 1 K T k ( P i j P i , j + 1 → ) , F_2(X_i) = \\sum_{j=1}\^{n-1} \\sum_{k=1}\^K T_k(\\overrightarrow{P_{ij}P_{i,j+1}}), F2(Xi)=j=1∑n−1k=1∑KTk(PijPi,j+1 ),
其中
T k ( P i j P i , j + 1 → ) = { 0 , if d k \> S + D + R k ( S + D + R k ) − d k , if D + R k \< d k ≤ S + D + R k ∞ , if d k ≤ D + R k T_k(\\overrightarrow{P_{ij}P_{i,j+1}}) = \\begin{cases} 0, \& \\text{if } d_k \> S + D + R_k \\\\ (S + D + R_k) - d_k, \& \\text{if } D + R_k \< d_k \\leq S + D + R_k \\\\ \\infty, \& \\text{if } d_k \\leq D + R_k \\end{cases} Tk(PijPi,j+1 )=⎩ ⎨ ⎧0,(S+D+Rk)−dk,∞,if dk\>S+D+Rkif D+Rk\