数学——A. K-divisible Sum + D. Exam in MAC

A. K-divisible Sum

题目:

思路:

以下 "[xxx]" 符号均代表向上取整

我们假设总和是sum,那么就有sum = k * cnt

要想最大值最小,肯定是要让sum尽可能小,这样每个元素都能变小

最小情况是 sum 恰好等于 n 时,此时有 n <= k * cnt

则 cnt 满足 cnt >= [n / k],当其取最小值时,sum有最小

此时既然我们知道sum的最小值了,那我们来探讨一下数组中最大值的最小值应该是多少

显然最小值应该是 [sum / n],所以我们便可写出代码了

代码:

cpp 复制代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<string>
#include <set>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <unordered_set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <stack>
#include <memory>
using namespace std;
#define int long long
#define yes cout << "YES\n"
#define no cout << "NO\n"

void solve()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    int cf = (k + n - 1)/ k;
    cout << (cf * k + n - 1) / n << endl;
}

signed main()
{
    cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}

D. Exam in MAC

题目:

思路:

这题让我们选出满足题意的(x,y)数对,首先看数据,居然高达1e9,那么显然不能直接暴力枚举

这题要以反向的思路来求,因为满足的很多,但是不满足的很少

那我们先什么都不考虑,我们的数对有多少种选择呢?(无重复)

显然是 (c+1 +1) * (c+1) / 2 种,为什么?

当 x 选 0 时,y 可以选 c + 1种,当 x 选 1 时,y 可以选 c 种,以此类推,最后发现这是一个等差数列,那么直接求和就是以上公式了

接下来我们考虑不符合的

首先考虑 x + y ∈ s

也就是对于任意的 s[i],要使得 x + y = s[i],一共有多少种选择?

其实和上述一样的思路,这里的答案是 s[i] / 2 + 1 种(因为还有0)

接下来考虑 y - x ∈ s

对于 y - x = s[i],也就是 y = s[i] + x,可以看出 y 的取值范围是 s[i] <= y <= c,那么显然,对于范围内任选一个数,都有唯一确定的 x 与其对应,所以这里的答案是 c - s[i] + 1

那么到这就结束了吗?显然没有,因为还有可能这些情况中还有两种情况都符合的情况

那么根据容斥原理,我们只需要求出两种情况都符合的情况,然后减去即可

那么我们来看看如何计算呢,首先有以下式子

x + y = s[i] 且 y - x = s[j],其中 s[i] 可以等于 s[j],那么显然对于这个二元一次方程,我们可以解出对于 s[i] 和 s[j] 这种情况的唯一解,但是要注意,s[i] 与 s[j] 的奇偶性一定要相同,否则解不是整数,所以我们只需要统计 s 中的奇数和偶数就行了,那接下来算一下他们的奉献

对于任意奇偶,其奉献是 even/odd * (even/odd + 1) / 2,这其实和上面一样,自己草稿纸上也能写出来

至此题目分析完毕,还是比较简单的,将复杂变简单

代码:

cpp 复制代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<string>
#include <set>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <unordered_set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <stack>
#include <memory>
using namespace std;
#define int long long
#define yes cout << "YES\n"
#define no cout << "NO\n"

void solve()
{
    int n, c;
    cin >> n >> c;
    vector<int> s(n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> s[i];
    }
    int ans = 1LL * (c + 1) * (c + 2) / 2LL;
    int even = 0, odd = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        ans -= s[i] / 2LL + 1;
        ans -= c - s[i] + 1LL;
        if (s[i] % 2)
            odd++;
        else
            even++;
    }
    ans += 1LL * even * (even + 1) / 2LL;
    ans += 1LL * odd * (odd + 1) / 2LL;
    cout << ans << endl;
}

signed main()
{
    cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}
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