这里用进制转换说明栈的应用，不是单纯讲解进制转换方法
进位制又称进制，是一种记数方式，利用这种"记数法"，可以使用有限种"数字符号"来表示所有的数值。
一种进位制中可以使用的数字符号的数目，称为这种进位制的基数或底数。若一个进位制的基数为 n n n ，即可称之为 n n n 进位制，简称 n n n 进制。
下表中列出了常见进位制。
| 底/基数 | 名称 | 描述 |
|---|---|---|
| 10 | 十进制 | 世界上最常见的算术运算位进制系统，用于大多数机械计数器。其十位数字为 "0-9"。 |
| 12 | 十二进制 | 因为有多个约数如 2，3，4和 6 的易于整除性，它传统上用以表示数量和总数，如"一打"即为十二个单位。十二位数字为"0-9"，接着是"A"和"B"。 |
| 20 | 二十进制 | 因为有多个约数如 2，4，5 和 10 的易于整除性，在几种传统文化中的数字系统，仍然被用于计数。二十位数字为"0-9"，接着是"A-J"。 |
| 2 | 二进制 | 几乎所有的电子计算机内部都使用二进位制。 |
| 16 | 十六进制 | 用于计算机领域。十六位数字为"0-9"，接着是"A-F"。 |
| 8 | 八进制 | 用于计算机领域，八位数字为"0-7"。 |
| 60 | 六十进制 | 起源于古代苏美尔并传给巴比伦人。用作极坐标系（度，分，秒）和时间测量（小时，分钟和秒）的基础。 |
同一个数字，可以用不同进制表示，也就是数字可以在不同进制之间转换。进制转换的方法较多，但这不是本节重点，本节要重点讲解的是将十进制向其他进制转换所使用的一种方法，称为除余法。例如十进制的 19 转换为二进制，过程如图 4.4.1 所示：
图 4.4.1 十进制数转换为二进制数
用 19 对 2 做除法得到余数 1，再用商对 2 做除法得到余数 1，再用商对 2 做除法得到余数 0，......，直到最后商为 0，余数为 1。最终，用所有的余数逆序串联在一起，就是最终的结果 10011。
将上述过程联系到栈------注意栈的特点：先进后出。如果得到了第一个余数 1，把它压入到栈；再得到第二个余数 1，还入栈；得到第三个余数 0 ，继续入栈；......，直到最后的商为 0 时的余数 1 压入栈。这样所得到的栈的栈顶元素就是最后的商为 0 时的余数 1 。然后栈中的元素（余数）依次出栈，就得到了图 4.4.1 所示的结果。
这种方法，适用于将十进制向任何进制转换，例如将十进制的 100 转换为八进制，过程如图 4.4.2 所示：
图 4.4.2 十进制数转换为八进制数
下面以十进制转换为二进制为例，演示使用栈实现进制转换的算法。
【算法步骤】
- 初始化一个空栈
S。 - 当十进制数
N非零时，循环执行以下操作：- 把
N与 2 求余得到的二进制数压入栈 S； - N 更新为 N 与 2 的商。
- 把
- 当 S 非空时，循环执行以下操作：
- 弹出栈顶元素
e； - 输出
e。
- 弹出栈顶元素
【算法描述】
本算法中的栈，使用顺序栈或者链栈均可，下面以顺序栈为例。
c
void conversion(int N){
//对任意一个非负十进制数，打印输出与其等值的二进制数
InitStack(S); //初始化空栈 S（见 043 节）
while(N){//当 N 非零时，循环
Push(S, N % 2); //把 N 与 2 求余，得到的二进制数压入栈 S
N = N / 2; //N 更新为 N 与 2 的商
}
while(S.top != S.base){//当栈 S 非空时
Pop(S, e); //栈顶元素出栈
cout<<e; //输出 e
}
}【算法分析】
-
时间复杂度
当
while(N)第 1 执行，N就是初试的问题规模值；第 2 次执行时，N = N / 2；第 r r r 次执行while循环语句时，其参数值为 N / ( 2 r − 1 ) N/(2^{r-1}) N/(2r−1) 。注意，在 C 语言中计算N / 2，其结果即为 ⌊ N 2 r − 1 ⌋ \lfloor\frac{N}{2^{r-1}}\rfloor ⌊2r−1N⌋ 。while(N)执行的条件是N非零，即 N ÷ 2 N ÷ 2 N÷2 的商非零，亦即 N > 2 r − 1 N\gt2^{r-1} N>2r−1 ，两边取对数得： r < log 2 N + 1 r\lt\log_2N+1 r<log2N+1 ，也就是循环语句执行次数的上限函数是 log 2 N + 1 \log_2N+1 log2N+1 。所以本算法的时间复杂度是 O ( log 2 N ) O(\log_2N) O(log2N) 。如果不是转换为二进制，比如转换为 8 进制，则要执行
N = N / 8，于是时间复杂度为 O ( log 8 N ) O(\log_8N) O(log8N) 。 -
空间复杂度
由上述分析可知，循环语句执行次数的上限是 log 2 N + 1 \log_2N+1 log2N+1 ，每执行一次循环语句，都会执行一次
Push(S, N % 2)。所以，临时存储余数的栈的长度为 log 2 N + 1 \log_2N+1 log2N+1 ，所以空间复杂度是 O ( log 2 N ) O(\log_2N) O(log2N) 。