数据结构：N个节点的二叉树有多少种（Number of Binary Trees Using N Nodes）

[N个无标签节点的二叉树有多少种形态？（Unlabelled N nodes）](#N个无标签节点的二叉树有多少种形态？（Unlabelled N nodes）)

[n = 0:](#n = 0:)

[n = 1:](#n = 1:)

[n = 2:](#n = 2:)

[n = 3:](#n = 3:)

发现规律，建立递推公式

[N个有标签节点的二叉树有多少种形态？（Labelled N Nodes）](#N个有标签节点的二叉树有多少种形态？（Labelled N Nodes）)

第一步：选定一个结构

第二步：给结构贴上标签

第三步：组合

我们将一步步推导拥有 N 个节点的二叉树形态数量。

这里必须先澄清一个核心问题："节点是否相同？"

1. 无标签节点 (Unlabelled Nodes)：所有节点都是一模一样的，我们只关心树的结构。

比如 A(B, C) 和 B(A, C)，如果只看结构，它们是不同的（根不同）。

但如果把 A, B, C 三个节点看作是完全一样的"小球"，我们只关心能搭出多少种不同的"架子"。

2. 有标签节点 (Labelled Nodes)：每个节点都是独一无二的，

比如它们的值是 1, 2, ..., N。在这种情况下，即使两个树的结构完全相同，只要节点上的值（标签）分布不同，它们就是两棵不同的树。

数据结构：树（Tree）-CSDN博客

我们先从更根本、也更难的无标签节点问题开始。

N个无标签节点的二叉树有多少种形态？（Unlabelled N nodes）

这个问题本质上是在问：

"用N个一模一样的节点，可以搭出多少种不同的二叉树结构？"

我们设 h(n) 是拥有 n 个节点的二叉树的形态总数。

我们没有现成的公式，所以从最简单的情况开始，寻找规律。

n = 0:

0个节点。有多少种形态？

只有一种，那就是空树 (Empty Tree)。所以 h(0)=1

注意：这个基础情况非常重要，是后续所有推导的基石。很多人会误以为是0。但"空树"本身是一种确定的状态。

n = 1:

1个节点。只有一种形态：一个单独的根节点。所以 h(1)=1。

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n=0:   ∅

n=1:   ●

n = 2:

2个节点。我们必须选择一个作为根节点，剩下1个节点。

这1个节点可以是根的左孩子，也可以是根的右孩子。因为二叉树严格区分左右，所以这是两种不同的结构。所以 h(2)=2。

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Case 1:     ●         Case 2:    ●
            /                     \
          ●                        ●

n = 3:

3个节点。同样，我们选择一个作为根节点，剩下2个节点需要安排。

这两个节点如何分布在根的左右子树中呢？

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1.    ●       2.    ●       3.    ●       4.    ●       5.    ●
       \           / \          /             /               \
        ●         ●   ●       ●             ●                 ●
         \                   /               \                 /
          ●                 ●                 ●               ●

情况1: 左子树有2个节点，右子树有0个节点。
- 左子树的2个节点有多少种形态？根据我们上面算出的 h(2)，有2种。
- 右子树的0个节点有多少种形态？根据 h(0)，有1种（空树）。
- 根据乘法原理，这种情况的总形态数是 h(2) × (0) = 2 种。

这个例子里的乘法原理，其实就是组合计数里的一个基本原则：

如果一个结果需要经过两步（或多步）独立的选择来确定，并且每一步的选择彼此独立，那么总的可能数 = 各步骤可能数的乘积。

为什么相乘？

先选择左子树的形态：有 2 种可能。
再选择右子树的形态：有 1 种可能。

这两步是独立的------选了哪一种左子树，并不影响右子树的形状可能性。

情况2: 左子树有1个节点，右子树有1个节点。
- 左子树1个节点有 h(1) = 1 种形态。
- 右子树1个节点有 h(1) = 1 种形态。
- 总形态数是 h(1) × (1) = 1 种
情况3: 左子树有0个节点，右子树有2个节点。
- 左子树0个节点有 h(0) = 1 种形态。
- 右子树2个节点有 h(2) = 2 种形态。
- 总形态数是 h(0) × (2) = 2 种。

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Case 1:  左 0，右 2（T(0)×T(2)=1×2 种）
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     \
      ●
       \
        ●

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     /
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Case 2:  左 1，右 1（T(1)×T(1)=1×1 种）
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   / \
  ●   ●

Case 3:  左 2，右 0（T(2)×T(0)=2×1 种）
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   /
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   \
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   /
  ●
 /
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把所有情况加起来，就是 h(3) 的总数：

h(3) = h(2) × (0) +h(1) × (1) + h(0) × (2) = 2 + 1 + 2 = 5 种。

发现规律，建立递推公式

通过 h(3) 的推导，我们发现了一个普适的模式。对于一棵有 n 个节点的树：

我们取出一个节点作为根。剩下 n−1 个节点。
这 n−1 个节点将被分配到左、右两个子树中。
我们可以枚举左子树的节点数量。假设左子树有 i 个节点（i 可以从 0 到 n−1）。
那么，右子树就必须有 (n−1)−i 个节点。
左子树自身有 h(i) 种形态，右子树自身有 h(n−1−i) 种形态。这两种形态的组合是独立的，所以根据乘法原理，当左子树有 i 个节点时，总的形态数是 h(i)cdoth(n−1−i)。
最后，我们把所有可能的 i 的情况（从 i=0 到 i=n−1）全部加起来，就得到了 h(n) 的总数。