【R语言】二项分布，正态分布，极大似然估计实现

二项分布

生成二项分布概率

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s <- 0:60
prob <- dbinom(s, size = 60, prob = 1/6)

s <- 0:60：生成 0 到 60 之间的整数，表示可能的成功次数。

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  dbinom(s, size = 60, prob = 1/6)

dbinom(x, size, prob) 计算二项分布的概率质量函数（PMF） ，即：
P ( X = s ) = ( 60 s ) ( 1 / 6 ) s ( 5 / 6 ) 60 − s P(X = s) = \binom{60}{s} (1/6)^s (5/6)^{60-s} P(X=s)=(s60)(1/6)s(5/6)60−s
size = 60：表示总试验次数（即 60 次）。
prob = 1/6：每次试验的成功概率（如掷骰子得到 1 的概率为 1/6）。

2. 用 Base R 绘图

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plot(s, prob, type = "h")

plot()：绘制散点图。
type = "h"：表示绘制竖直线条，类似于直方图。

3. 用 ggplot2 绘图

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dat <- data.frame(x = s, y = prob)
ggplot(dat, aes(x = s, y = y, xend = s, yend = 0)) +
  geom_segment() + 
  theme_minimal()

代码解析

data.frame(x = s, y = prob)：创建数据框，包含 x 轴的成功次数 s 和 y 轴的概率 prob。

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  ggplot(dat, aes(x = s, y = y, xend = s, yend = 0))

x = s, y = y：将 s 作为横坐标，prob 作为纵坐标。
xend = s, yend = 0：绘制从 (s, prob) 到 (s, 0) 的竖直线段。
geom_segment()：绘制竖线（类似于 Base R 的 type = "h"）。
theme_minimal()：应用简洁主题，去掉多余背景。

正态分布概率密度计算

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dnorm(10, 10, 0.1)

用于计算

正态分布的概率密度函数
- x 是你想要计算的点。
- mean 是正态分布的均值（平均值）。
- sd 是正态分布的标准差。

所以，dnorm(10, 10, 0.1) 计算的是在均值为 10，标准差为 0.1 的正态分布下，点 x = 10 的概率密度值。

数学公式：

正态分布的概率密度函数（PDF）公式为：
f ( x ) = 1 2 π σ 2 exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left( - \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) f(x)=2πσ2 1exp(−2σ2(x−μ)2)

其中：

x 是你要求概率密度的值。
μ 是正态分布的均值。
σ 是标准差。

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3.989423

pdf是可以大于1的，因为是概率密度而不是概率

生成正态分布密度范围

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x <- seq(from = mu - 4 * sig, to = mu + 4 * sig,
         length.out = 128)

mu 代表正态分布的均值（mean）。
sig 代表标准差（standard deviation）。

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  seq(from = ..., to = ..., length.out = ...)

是 R 中用于生成数值序列的函数。

from 是序列的起始值。
to 是序列的结束值。
length.out 指定生成的序列包含的元素个数。

功能：

该代码生成了一个从 mu - 4 * sig 到 mu + 4 * sig 的序列。通常，正态分布的95%数据都落在均值 ± 2倍标准差的范围内，所以 mu ± 4 * sig 给出了一个比 95% 范围更广的范围（约 99.99%）。
length.out = 128 指定生成的序列包含128个点，这些点均匀分布在这个范围内。

极大似然估计二项分布

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n <- 50  
y <- 10  

neg_log_likelihood <- function(p) {
  -dbinom(y, n, p, log = TRUE)
}

initial_guess <- 0.5

result <- optim(initial_guess, neg_log_likelihood, method = "Brent", lower = 0, upper = 1)

mle_proportion_boys <- result$par
mle_proportion_boys

详细解释：

给定的数据 ：
- n <- 50：总共50个人。
- y <- 10：其中10个是男孩。
负对数似然函数的定义 ：
- neg_log_likelihood：该函数定义了给定男孩比例 ppp 下的负对数似然函数，表示为 −log⁡(P(y boys))，其中 P(y boys) 是二项分布的概率质量函数 dbinom(y, n, p)。
- dbinom(y, n, p, log = TRUE) 返回的是概率值的对数。
优化：
- 使用 optim() 函数进行最大化，初始猜测是 initial_guess <- 0.5，即假设男孩的比例是50%。
- optim() 方法使用的是 "Brent" 方法，这是一个适合一维问题的优化算法，lower = 0 和 upper = 1 限制了男孩比例 ppp 的取值范围在 $0, 1$ 之间。
得到的结果 ：
- result$par 提供了使负对数似然最小的比例，这就是我们想要的最大似然估计值（MLE）。

核密度估计

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density.cbd <- density(x = distance.cbd, bw = 1.25, from = 0, to = 50)

代码解释：

density(x = distance.cbd, bw = 1.25, from = 0, to = 50)
- x = distance.cbd：distance.cbd 是输入数据，可能是一个包含观测值的向量。
- bw = 1.25：带宽（bandwidth）是KDE中的一个重要参数，决定了估计曲线的平滑度。较小的带宽会使曲线更接近数据点，而较大的带宽会使曲线更加平滑。bw = 1.25 指定了带宽为1.25。
- from = 0 和 to = 50：这些参数定义了估计的范围，即从0到50的区间内进行核密度估计。