(每日一道算法题)翻转对

给定一个数组 nums ，如果 i < j 且 nums[i] > 2*nums[j] 我们就将 (i, j) 称作一个重要翻转对。

你需要返回给定数组中的重要翻转对的数量。

示例 1:

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输入: [1,3,2,3,1]
输出: 2

示例 2:

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输入: [2,4,3,5,1]
输出: 3

注意:

给定数组的长度不会超过50000。
输入数组中的所有数字都在32位整数的表示范围内。

暴力解法与优化思路

1. 暴力解法（不可行）

直接遍历所有 i < j 的组合，检查条件 nums[i] > 2 * nums[j]。时间复杂度为 O(n^2)，在 n=50000 时无法通过。

2. 归并排序的分治优化

归并排序的核心思想是 分而治之：

分：将数组递归拆分为左右子数组。
治：分别对左右子数组排序。
合：合并两个有序子数组。

在合并过程中，可以利用 子数组的有序性 高效统计逆序对。

为什么普通逆序对可以直接统计，而重要翻转对不行？

普通逆序对（`nums[i] > nums[j]`）

合并阶段统计 ：当左右子数组为升序时，若 nums[i] > nums[j]，则左子数组后续元素均大于 nums[j]，可立即统计剩余元素数量。
时间复杂度 ：O(n log n)。

重要翻转对（`nums[i] > 2 * nums[j]`）

无法直接合并统计 ：即使左右子数组有序（如升序），也无法保证 nums[i] > 2 * nums[j] 的后续元素满足条件。
独立统计的必要性 ：必须 单独遍历有序子数组，利用有序性快速统计。

归并排序的优化实现

关键步骤

降序排序：保证左右子数组为降序排列。
独立统计阶段：合并前，遍历左右子数组，统计满足条件的对数。
合并阶段：仅合并，不统计。

代码实现

java 复制代码

class Solution {
    private int[] tmp;
    private int count;

    public int reversePairs(int[] nums) {
        tmp = new int[nums.length];
        mergeSort(nums, 0, nums.length - 1);
        return count;
    }

    private void mergeSort(int[] nums, int left, int right) {
        if (left >= right) return;
        int mid = left + (right - left) / 2;
        mergeSort(nums, left, mid);
        mergeSort(nums, mid + 1, right);
        countPairs(nums, left, mid, right); // 独立统计阶段
        merge(nums, left, mid, right);      // 合并为降序数组
    }

    // 统计重要翻转对（左右子数组已降序）
    private void countPairs(int[] nums, int left, int mid, int right) {
        int i = left, j = mid + 1;
        while (i <= mid) {
            // 右子数组降序，找到第一个不满足 nums[j] >=nums[j]/2.0 的 j
            while (j <= right && nums[j] >=nums[i]/2.0) {
                j++;
            }
            count += right-j+1; // 统计满足条件的数量
            i++;
        }
    }

    // 降序合并两个子数组
    private void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
        int i = left, j = mid + 1, k = 0;
        while (i <= mid && j <= right) {
            if (nums[i] >= nums[j]) {
                tmp[k++] = nums[i++];
            } else {
                tmp[k++] = nums[j++];
            }
        }
        while (i <= mid) tmp[k++] = nums[i++];
        while (j <= right) tmp[k++] = nums[j++];
        System.arraycopy(tmp, 0, nums, left, right - left + 1);
    }
}

代码解析

1. 独立统计阶段 `countPairs`

输入：已排序的左右子数组（降序）。
双指针遍历 ：
- 左指针 i 遍历左子数组。
- 右指针 j 从右子数组起始位置开始，找到第一个不满足 nums[i] > 2 * nums[j] 的位置。
- 统计 j 之前的元素数量（均满足条件）。

2. 合并阶段 `merge`

降序合并：将左右子数组合并为一个降序数组，为后续操作提供有序性保证。

3. 复杂度分析

时间复杂度 ：O(n log n)，归并排序的递归深度为 log n，每层操作复杂度为 O(n)。
空间复杂度 ：O(n)，用于临时数组 tmp。

关键点总结

降序排序的必要性：保证右子数组元素从前往后递增，使得统计时能利用有序性快速定位。
独立统计阶段：必须在合并前单独统计，避免遗漏可能的翻转对。
防止整数溢出 ：比较时使用 long 类型（如 2L * nums[j]）。