26考研——图_图的基本概念（6）

408答疑

文章目录

一、图的基本概念
- 图的定义
- - 非空性
  - 非线性结构
- 顶点和边的表示
- - 顶点
  - 边
- [有向图 & 无向图](#有向图 & 无向图)
- - 有向图
  - - [有向图 G 1 G_1 G1 的表示](#有向图 G 1 G_1 G1 的表示)
  - 无向图
  - - [无向图 G 2 G_2 G2 的表示](#无向图 G 2 G_2 G2 的表示)
- [简单图 & 多重图](#简单图 & 多重图)
- - 简单图
  - 多重图
- 顶点的度、入度和出度
- - 顶点的度
  - 有向图的度
- 路径、路径长度和回路
- 距离
- 子图
- 完全图（简单完全图）
- - 无向完全图
  - 有向完全图
- 连通图、连通分量、强连通图，强连通分量
- - 连通性
  - - 连通图
    - 强连通图
  - 连通分量
  - 强连通分量
- [生成树 & 生成森林](#生成树 & 生成森林)
- - 生成树
  - 生成森林
- 边的权、网和带权路径长度
- - 边的权
  - 网
  - 带权路径长度
- [稠密图 & 稀疏图](#稠密图 & 稀疏图)
- - 稀疏图
  - 稠密图
- 有向树
六、参考资料
- 鲍鱼科技课件
- 26王道考研书

一、图的基本概念

图的定义

图 G G G 由顶点集 V V V 和边集 E E E 组成，记为 G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E)，其中 V ( G ) V(G) V(G) 表示图 G G G 中顶点的有限非空集； E ( G ) E(G) E(G) 表示图 G G G 中顶点之间的关系（边）集合。

非空性

线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空图。也就是说，图中不能一个顶点也没有，图的顶点集 V V V 一定非空，但边集 E E E 可以为空，此时图中只有顶点而没有边。

非线性结构

图是非线性结构，由顶点和边组成。

顶点和边的表示

若 V = { v 1 , v 2 , ⋯ , v n } V = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\} V={v1,v2,⋯,vn}，则用 ∣ V ∣ |V| ∣V∣ 表示图 G G G 中顶点的个数。
边集 E = { ( u , v ) ∣ u ∈ V , v ∈ V } E = \{(u, v) | u \in V, v \in V\} E={(u,v)∣u∈V,v∈V}，用 ∣ E ∣ |E| ∣E∣ 表示图 G G G 中边的条数。

顶点

图中的结点称为顶点。

边

连接顶点之间的线称为边。
- 无向边简称为边。
- 有向边称为弧。

有向图 & 无向图

有向图

有向图的边使用尖括号 ⟨ ⟩ \langle \rangle ⟨⟩ 表示。
弧是顶点的有序对，记为 ⟨ v , w ⟩ \langle v, w \rangle ⟨v,w⟩，其中 v , w v, w v,w 是顶点， v v v 称为弧尾， w w w 称为弧头。
⟨ v , w ⟩ \langle v, w \rangle ⟨v,w⟩ 称为从 v v v 到 w w w 的弧，也称 v v v 邻接到 w w w。

有向图 G 1 G_1 G1 的表示

G 1 = ( V 1 , E 1 ) G_1 = (V_1, E_1) G1=(V1,E1)
V 1 = { 1 , 2 , 3 } V_1 = \{1, 2, 3\} V1={1,2,3}
E 1 = { ⟨ 1 , 2 ⟩ , ⟨ 2 , 1 ⟩ , ⟨ 2 , 3 ⟩ } E_1 = \{\langle 1, 2 \rangle, \langle 2, 1 \rangle, \langle 2, 3 \rangle\} E1={⟨1,2⟩,⟨2,1⟩,⟨2,3⟩}

无向图

无向图的边使用圆括号 ( ) ( ) () 表示。
边是顶点的无序对，记为 ( v , w ) (v, w) (v,w) 或 ( w , v ) (w, v) (w,v)。
可以说 w w w 和 v v v 互为邻接点。
边 ( v , w ) (v, w) (v,w) 依附于 w w w 和 v v v，或称边 ( v , w ) (v, w) (v,w) 和 v , w v, w v,w 相关联。

无向图 G 2 G_2 G2 的表示

G 2 = ( V 2 , E 2 ) G_2 = (V_2, E_2) G2=(V2,E2)
V 2 = { 1 , 2 , 3 , 4 } V_2 = \{1, 2, 3, 4\} V2={1,2,3,4}
E 2 = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ) } E_2 = \{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)\} E2={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}

简单图 & 多重图

简单图

不存在重复边。
不存在顶点到自身的边。

多重图

允许两个顶点之间的边数大于 1 条。
允许顶点通过一条边和自身关联。

顶点的度、入度和出度

顶点的度

连接顶点边的数量称为顶点的度，记为 T D ( v ) TD(v) TD(v)。
在无向图中，每条边和两个顶点相关联，因此无向图的全部顶点的度之和等于边数的 2 倍。
在下图中，每个顶点的度均为 3。

有向图的度

对于有向图，顶点 v v v 的度分为入度和出度。
- 入度：以顶点 v v v 为终点的有向边的数目，记为 I D ( v ) ID(v) ID(v)。
- 出度：以顶点 v v v 为起点的有向边的数目，记为 O D ( v ) OD(v) OD(v)。
顶点 v v v 的度等于其入度与出度之和，即 T D ( v ) = I D ( v ) + O D ( v ) TD(v) = ID(v) + OD(v) TD(v)=ID(v)+OD(v)。
有向图的全部顶点的入度之和与出度之和相等，并且等于边数，这是因为每条有向边都有一个起点和终点。

路径、路径长度和回路

路径：
- 顶点 v p v_p vp 到顶点 v q v_q vq 之间的一条路径是指顶点序列 v p , v i 1 , v i 2 , ⋯ , v i m , v q v_p, v_{i_1}, v_{i_2}, \cdots, v_{i_m}, v_q vp,vi1,vi2,⋯,vim,vq。
- 路径上的边的数目称为路径长度。
- 第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。
- 若一个图有 n n n 个顶点，且有大于 n − 1 n-1 n−1 条边，则此图一定有环。
简单路径：
- 在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。
简单回路：
- 除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。

距离

从顶点 u u u 出发到顶点 v v v 的最短路径若存在，则此路径的长度称为从 u u u 到 v v v 的距离。
若从 u u u 到 v v v 根本不存在路径，则记该距离为无穷（ ∞ \infty ∞）。

子图

设有两个图 G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E) 和 G ′ = ( V ′ , E ′ ) G' = (V', E') G′=(V′,E′)，若 V ′ V' V′ 是 V V V 的子集，且 E ′ E' E′ 是 E E E 的子集，则称 G ′ G' G′ 是 G G G 的子图。
若有满足 V ( G ′ ) = V ( G ) V(G') = V(G) V(G′)=V(G) 的子图 G ′ G' G′，则称其为 G G G 的生成子图。
注意：并非 V V V 和 E E E 的任何子集都能构成 G G G 的子图，因为这样的子集可能不是图，即 E E E 的子集中的某些边关联的顶点可能不在这个 V V V 的子集中。
下图中，(2)为(1)的子图。

完全图（简单完全图）

无向完全图

对于无向图，边的取值范围为 0 0 0 到 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n-1)}{2} 2n(n−1)。
如果图有 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n-1)}{2} 2n(n−1) 条边，则无向图称为无向完全图。
在完全图中任意两个顶点之间都存在边。

有向完全图

对于有向图，边的取值范围为 0 0 0 到 n ( n − 1 ) n(n-1) n(n−1)。
如果图有 n ( n − 1 ) n(n-1) n(n−1) 条弧，则有向图称为有向完全图。
在有向完全图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧。

连通图、连通分量、强连通图，强连通分量

连通性

连通图

在无向图中，若从顶点 v v v 到顶点 w w w 有路径存在，则称 v v v 和 w w w 是连通的。
若图 G G G 中任意两个顶点都是连通的，则称图 G G G 为连通图，否则称为非连通图。

强连通图

在有向图中，若有一对顶点 v v v 和 w w w，从 v v v 到 w w w 和从 w w w 到 v v v 之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。
若图中任意一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。

连通分量

无向图中的极大连通子图称为连通分量。
在下图中，图 G G G 有 3 个连通分量。
假设一个图有 n n n 个顶点，若边数小于 n − 1 n-1 n−1，则此图必是非连通图。
- 若该图是非连通图，非连通情况下边最多的情况：由 n-1 个顶点构成一个完全图，此时再加入一个顶点则变成非连通图。

强连通分量

有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。
在下图中，图 G G G 有 2 个连通分量。
假设一个有向图有 n n n 个顶点，若该图是强连通图，则连通情况下边最少的情况：至少需要 n 条边，构成一个环路。

注意：在无向图中讨论连通性，在有向图中讨论强连通性

生成树 & 生成森林

生成树

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。
若图中顶点数为 n n n，则它的生成树含有 n − 1 n-1 n−1 条边。
包含图中全部顶点的极小连通子图，只有生成树满足这个极小条件，对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。

生成森林

非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

注意：区分极大连通子图和极小连通子图。极大连通子图要求子图必须连通，而且包含尽可能多的顶点和边；极小连通子图是既要保持子图连通又要使得边数最少的子图。

边的权、网和带权路径长度

边的权

在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值。

网

这种边上带有权值的图称为带权图，也称网。

带权路径长度

路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度。

稠密图 & 稀疏图

稀疏图

边数很少的图称为稀疏图。
稀疏和稠密本身是模糊的概念，稀疏图和稠密图常常是相对而言的。
一般当图 G G G 满足 ∣ E ∣ < ∣ V ∣ log ⁡ 2 ∣ V ∣ |E| < |V|\log_2|V| ∣E∣<∣V∣log2∣V∣ 时，可以将 G G G 视为稀疏图。

稠密图

反之称为稠密图。

有向树

一个顶点的入度为 0 0 0、其余顶点的入度均为 1 1 1 的有向图，称为有向树。