【Python 算法】动态规划

牧歌悠悠2025-04-02 2:40

本博客笔记内容来源于灵神，视频链接如下：https://www.bilibili.com/video/BV16Y411v7Y6?vd_source=7414087e971fef9431117e44d8ba61a7\&spm_id_from=333.788.player.switch

01背包

计算了f $i+1$ ，f $i$ 就没用了，相当于每时每刻只有两个数组在参与运算：

494题是求方案数的，要初始化成 0。
如果是恰好型背包并且要计算最大最小，那么初始值就和 inf 有关。

力扣494题：

对于至少/至多的变形问题，变形类似：

完全背包

力扣322题：

其中：从二维递推式来理解，

例如01背包，更新f【c】的值需要的是当前f【c】和上一个状态的f【c-w】，因为我们现在之后一个数组，若是正序，f【c-w】就更新过了，也就不是上一个状态的值了，所以必须逆序 ；

若是完全背包，更新f【c】的值需要的是当前f【c】和当前状态的f【c-w】，需要的就是更新过的值，所以正序是没问题的。

例题：力扣2915. 和为目标值的最长子序列的长度

python 复制代码

class Solution:
    def lengthOfLongestSubsequence(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        # 先使用递归
        # 恰好等于target ==背包容量
        # 长度即选物品，其价值为1
        # 只能选一次：01背包问题
        n = len(nums)

        # 1.递归：
        @cache
        def dfs(i,c):
            if i<0:
                return 0 if c==0 else -inf
            if c< nums[i]:
                return dfs(i-1,c)
            return max(dfs(i-1,c),dfs(i-1,c-nums[i])+1)
        
        ans= dfs(n-1,target)
        dfs.cache_clear()
        return ans if ans>-1 else -1

        # 2. 转为递推:
        dp[i+1][c]= max(dp[i][c],dp[i][c-nums[i]]+1) 整体加了1
        dp =[[-inf]*(target+1) for _ in range(n+1)]
        dp[0][0]=0
        for i,x in enumerate(nums):
            for c in range(target+1):
                if c<x:
                    dp[i+1][c]=dp[i][c]
                else:
                    dp[i+1][c]= max(dp[i][c],dp[i][c-x]+1)
        ans = dp[n][target]
        return ans if ans>-1 else -1

        # 3. 进一步优化为滚动数组
        dp =[[-inf]*(target+1) for _ in range(2)]
        dp[0][0]=0
        for i,x in enumerate(nums):
            for c in range(target+1):
                if c<x:
                    dp[(i+1)%2][c]=dp[i%2][c]
                else:
                    dp[(i+1)%2][c]= max(dp[i%2][c],dp[i%2][c-x]+1)

        ans = dp[n%2][target]  # 记得这里也要%2
        return ans if ans>-1 else -1

        #  4. 进一步优化为1维滚动数组

        dp =[-inf]*(target+1)
        dp[0]=0
        for x in nums:
            for c in range(target,x-1,-1):
                if c<x:
                    dp[c] = dp[c]
                else:
                    dp[c]= max(dp[c],dp[c-x]+1)

        ans = dp[target]  
        return ans if ans>-1 else -1