动态系统的分析可以分为三个步骤：第一步描述系统，通过语言来描述系统的特性，第一步描述系统 ，即通过语言来描述系统的特性；第二步数学分析 ，即使用数学工具对系统进行量化解析；第三步结果与讨论，即根据第二步数学分析的结果，进行深层次的思考与讨论。
爱情是永恒的主题，每个人都有自己的故事。康奈尔大学应用数学系教授Steven Strogatz在1988年首先将爱情模型引入相轨迹分析的教学中。他当时在哈佛大学做博士后，根据课堂的经验引入了这一模型。他选用的是莎翁笔下的著名人物------罗密欧与朱丽叶。之后很多教师都纷纷使用这一概念来引起同学们的兴趣，而每一个教师也会在其中加入自己的思考与分析。
为了使本书读者有更好的代入感，我将选用两个中国人的名字，来自我的两位朋友，男生叫雨飞，女生叫梦寒，如图3.4.1所示。其中，雨飞对梦寒的感情用 Y ( t ) Y(t) Y(t)来表示，梦寒对雨飞的感情用 M ( t ) M(t) M(t)来表示。 Y ( t ) Y(t) Y(t)与 M ( t ) M(t) M(t)大于零时说明他们是相爱的，小于零时说明他们心有怨恨，等于零时说明他们对对方无感。
分以下几种情况进行讨论。
情况(1)： d d t Y ( t ) M ( t ) = A Y ( t ) M ( t ) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} Y(t) \\ M(t) \end{bmatrix} = \boldsymbol{A} \begin{bmatrix} Y(t) \\ M(t) \end{bmatrix} dtdY(t)M(t)=AY(t)M(t)，其中 A = 0 a − b 0 \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}0 & a \\ -b & 0\end{bmatrix} A=0−ba0， a > 0 a>0 a>0 且 b > 0 b>0 b>0。
第一步：描述系统。
从上式可以看出，雨飞是一个耿直男孩。他的表现是：如果你对我好（ M ( t ) > 0 M(t)>0 M(t)>0），我就会对你产生好感（ d Y ( t ) d t = a M ( t ) > 0 \frac{\mathrm{d}Y(t)}{\mathrm{d}t}=aM(t)>0 dtdY(t)=aM(t)>0）；如果你讨厌我（ M ( t ) < 0 M(t)<0 M(t)<0），我也不搭理你（ d Y ( t ) d t = a M ( t ) < 0 \frac{\mathrm{d}Y(t)}{\mathrm{d}t}=aM(t)<0 dtdY(t)=aM(t)<0）。他属于"投桃报李"加"以牙还牙"的性格。这种性格过于直来直去，在现实生活中其实不太容易受到欢迎。
而梦寒则是一个多情甚至有些矫情的女孩。当雨飞向她嘘寒问暖时（ Y ( t ) > 0 Y(t)>0 Y(t)>0），她爱答不理，你越热情，她就越远离（ d M ( t ) d t = − b Y ( t ) < 0 \frac{\mathrm{d}M(t)}{\mathrm{d}t}=-bY(t)<0 dtdM(t)=−bY(t)<0）。而当雨飞开始疏远她时（ Y ( t ) < 0 Y(t)<0 Y(t)<0），她又发现了雨飞身上的优点，不可控制地开始爱上他（ d M ( t ) d t = − b Y ( t ) > 0 \frac{\mathrm{d}M(t)}{\mathrm{d}t}=-bY(t)>0 dtdM(t)=−bY(t)>0）。即"欲迎还拒"加"若即若离"的性格。当这两种性格遇到一起，就会发生一些奇妙的事情。
第二步：数学分析。
首先求系统的平衡点，令 d d t Y ( t ) M ( t ) = 0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} Y(t) \\ M(t) \end{bmatrix} = 0 dtdY(t)M(t)=0，得到平衡点 { Y f = 0 M f = 0 \begin{cases}Y_f = 0 \\ M_f = 0\end{cases} {Yf=0Mf=0。
求矩阵 A \boldsymbol{A} A的特征值，可得 λ 1 , 2 = ± a b j \lambda_{1,2} = \pm\sqrt{ab}\mathrm{j} λ1,2=±ab j。根据表3.3.1，判断出平衡点是一个中心点。它的相轨迹是图3.4.2所示的椭圆（参考例3.3.5）。根据初始状态的不同，这个椭圆的大小会有所不同。
第三步：结果与讨论。
分析图3.4.2中的相轨迹，会发现他们之间是一个无限循环、爱恨交织的关系。例如，以第四象限的 Y ( t 0 ) , M ( t 0 ) T Y(t_0),M(t_0)^{\mathrm{T}} Y(t0),M(t0)T点作为初始条件开始分析。在 t 0 t_0 t0时刻， Y ( t 0 ) > 0 Y(t_0)>0 Y(t0)>0代表雨飞爱着梦寒，而 M ( t 0 ) < 0 M(t_0)<0 M(t0)<0则代表梦寒正在讨厌着雨飞。此时， d Y ( t ) d t ∣ t = t 0 = a M ( t 0 ) < 0 \left.\frac{\mathrm{d}Y(t)}{\mathrm{d}t}\right|{t = t_0}=aM(t_0)<0 dtdY(t) t=t0=aM(t0)<0，说明了因为梦寒讨厌雨飞，所以雨飞对她的热情也在减少当中。直到过了某个临界点之后，相轨迹来到了第三象限，雨飞开始讨厌梦寒了， Y ( t 1 ) < 0 Y(t_1)<0 Y(t1)<0。而这时 d M ( t ) d t ∣ t = t 1 > 0 \left.\frac{\mathrm{d}M(t)}{\mathrm{d}t}\right|{t = t_1}>0 dtdM(t) t=t1>0，说明梦寒对雨飞的态度发生了转变，虽然还是讨厌，但因为雨飞开始不搭理她，她反而想起了雨飞的好， M ( t ) M(t) M(t)开始增加，向正方向移动。二人的关系继续发展到下一个临界点（进入第二象限），此时的雨飞已经非常讨厌梦寒，而梦寒却开始喜欢上雨飞（ M ( t 2 ) > 0 M(t_2)>0 M(t2)>0）。随着梦寒态度变得亲近，雨飞的热情又重新被燃了起来，此时 d Y ( t ) d t ∣ t = t 2 > 0 \left.\frac{\mathrm{d}Y(t)}{\mathrm{d}t}\right|{t = t_2}>0 dtdY(t) t=t2>0。沿着这个椭圆继续走，相轨迹进入第一象限，雨飞又开始喜欢梦寒（ Y ( t 3 ) > 0 Y(t_3)>0 Y(t3)>0），但梦寒却因为受不了他的热情，逐渐变得冷淡了起来， d M ( t ) d t ∣ t = t 3 < 0 \left.\frac{\mathrm{d}M(t)}{\mathrm{d}t}\right|{t = t_3}<0 dtdM(t) t=t3<0。
就这样，他们有四分之一时间是相爱的（第一象限），有四分之一时间是互相看不顺眼的（第三象限）。而剩下的二分之一时间是一半火焰，一半海洋（第二、四象限）。这是个不错的关系，也是情侣之间的常态。因为即使在这互不顺眼的四分之一时间内，也充满了对未来的希望和憧憬。
情况(2)： d d t Y ( t ) M ( t ) = A Y ( t ) M ( t ) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} Y(t) \\ M(t) \end{bmatrix} = \boldsymbol{A} \begin{bmatrix} Y(t) \\ M(t) \end{bmatrix} dtdY(t)M(t)=AY(t)M(t)，其中 A = − a b b − a \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}-a & b \\ b & -a\end{bmatrix} A=−abb−a， a > 0 a>0 a>0 且 b > 0 b>0 b>0。
第一步：描述这种情况下的爱情系统。
以雨飞为例， d Y ( t ) d t = − a Y ( t ) + b M ( t ) \frac{\mathrm{d}Y(t)}{\mathrm{d}t}=-aY(t)+bM(t) dtdY(t)=−aY(t)+bM(t)，说明雨飞的感情变化 d Y ( t ) d t \frac{\mathrm{d}Y(t)}{\mathrm{d}t} dtdY(t)和梦寒对其的感情 M ( t ) M(t) M(t)是正相关的。如果雨飞感受到的是梦寒的爱（ M ( t ) > 0 M(t)>0 M(t)>0），那么就会促进雨飞对梦寒感情的增长（ b M ( t ) > 0 bM(t)>0 bM(t)>0），而如果他感受到的是梦寒的恨（ M ( t ) < 0 M(t)<0 M(t)<0），那么他对梦寒的感情也会受挫（ b M ( t ) < 0 bM(t)<0 bM(t)<0）。同时，雨飞的感情变化 d Y ( t ) d t \frac{\mathrm{d}Y(t)}{\mathrm{d}t} dtdY(t)还与他自身对梦寒的感情反相关，因为其中包含了 − a Y ( t ) -aY(t) −aY(t)这一项。这说明了他很小心，不管是爱或恨都会有所保留，有所克制。因为矩阵 A \boldsymbol{A} A是一个对称矩阵，所以梦寒的性格和雨飞是一样的。
第二步：对这个系统进行数学分析。
首先求系统的平衡点，令 d d t Y ( t ) M ( t ) = 0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} Y(t) \\ M(t) \end{bmatrix} = 0 dtdY(t)M(t)=0，可以得到平衡点 { Y f = 0 M f = 0 \begin{cases}Y_f = 0 \\ M_f = 0\end{cases} {Yf=0Mf=0。
求矩阵 A \boldsymbol{A} A的特征值，可得
{ λ 1 = − a + b λ 2 = − a − b ( 3.4.1 ) \begin{cases} \lambda_1 = -a + b \\ \lambda_2 = -a - b \end{cases} \quad (3.4.1) {λ1=−a+bλ2=−a−b(3.4.1)
其所对应的特征向量为
{ v 1 = 1 , 1 T v 2 = 1 , − 1 T ( 3.4.2 ) \begin{cases} \boldsymbol{v}_1 = 1,1^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{v}_2 = 1,-1^{\mathrm{T}} \end{cases} \quad (3.4.2) {v1=1,1Tv2=1,−1T(3.4.2)
这时需要分情况进行讨论。
情况(2.1)： a > b a>b a>b。
在这种情况下，他们两个人对于自我的意识要超过对于对方的感情，换言之，他们都很理智，都倾向于克制自己的情感。根据式(3.4.1)，当 a > b a>b a>b时， λ 1 < 0 \lambda_1<0 λ1<0且 λ 2 < 0 \lambda_2<0 λ2<0，所以平衡点是一个稳定节点。它的相轨迹如图3.4.3(a)所示，无论是从任何的初始状态开始，随着时间的增加， Y ( t ) Y(t) Y(t)和 M ( t ) M(t) M(t)都会趋于0，并最终稳定在0点处。在这种情况下，不管他们曾经爱得有多深，或是恨得有多深，随着时间的增加，雨飞与梦寒终究会成为路人，相忘于江湖， Y ( t ) = M ( t ) = 0 Y(t)=M(t)=0 Y(t)=M(t)=0。
情况(2.2)： a < b a < b a<b。
在这种情况下，他们两个人对于对方的感情都超过了对于自我的意识，他们都很感性，都更加勇于表达对对方的情感。根据式(3.4.1)，当 a < b a < b a<b时， λ 1 > 0 \lambda_1 > 0 λ1>0而 λ 2 < 0 \lambda_2 < 0 λ2<0，所以平衡点是一个鞍点。它的相轨迹如图3.4.3(b)所示。可以发现，这将导致两种极端的情况，他们或者在第一象限共浴爱河（ Y ( t ) > 0 Y(t)>0 Y(t)>0且 M ( t ) > 0 M(t)>0 M(t)>0），或者在第三象限成为仇敌（ Y ( t ) < 0 Y(t)<0 Y(t)<0且 M ( t ) < 0 M(t)<0 M(t)<0）。而最终的结果与初始状态相关，即他们给对方的第一印象。
如果他们初次见面时对对方的感受在图3.4.3(b)所示的第四象限中的 Y ( t 0 ) , M ( t 0 ) T Y(t_0),M(t_0)^{\mathrm{T}} Y(t0),M(t0)T点，在此时刻，雨飞深爱着梦寒（ Y ( t 0 ) > 0 Y(t_0)>0 Y(t0)>0），但是梦寒却不喜欢雨飞（ M ( t 0 ) < 0 M(t_0)<0 M(t0)<0）。在以后的交往中，梦寒对雨飞的感情逐渐升温，可以看到 M ( t ) M(t) M(t)在相轨迹中向上移动（增加）。而雨飞虽然动摇过（ Y ( t ) Y(t) Y(t)在不断减小），但是却仍然一直爱着梦寒（ Y ( t ) > 0 Y(t)>0 Y(t)>0）。终于，他们突破了零界点，进入第一象限。两个人开始过上了幸福的生活。相反地，如果他们初次见面时的感受在图3.4.3(b)所示的第四象限中的 Y ( t 1 ) , M ( t 1 ) T Y(t_1),M(t_1)^{\mathrm{T}} Y(t1),M(t1)T点，这个时候，雨飞爱着梦寒（ Y ( t 1 ) > 0 Y(t_1)>0 Y(t1)>0），但是梦寒非常讨厌雨飞（ M ( t 1 ) < 0 M(t_1)<0 M(t1)<0）。在后面的发展中，虽然梦寒的感情在升温，但是雨飞却先坚持不住了，终于达到零界点并且崩溃（相轨迹进入第三象限），他们最终由爱生恨，变成了仇人。所以，一定要珍惜第一次亮相的机会，不要等到和心上人见面以后才想起来要充实自己或是做身材管理，初始条件将决定最后的结果，要时刻做好准备，给对方留下惊艳的初次印象。
第三步：结果与讨论。
上面的结果说明当一个人过于理性，过于在乎自我的时候（ a > b a>b a>b），往往就会忽略别人的感受，最终会和心上人变为路人，成为一个孤独的人。而如果对对方倾入的情感大于对自我的意识时（ a < b a < b a<b），则会有两种结果，要么共浴爱河，要么因爱生恨。通过这个分析可以得出两个结论：①有很多人愿意一辈子做朋友，却不愿意去打破这个微妙的平衡。②如果不认真的话，那肯定赢不了；但是如果认真的话，那就有可能会输了。