文章目录
前置知识
在了解拓扑排序前，我们需要了解以下前置知识：
1.入度：对于一个有向图，一个顶点的入度是指以该顶点为终点的有向边的数目。
2.出度：对于一个有向图，一个顶点的出度是指以该顶点为起点的有向边的数目。
3.有向无环图（DAG）:在图中，如果任意一个顶点在经过若干条有向边后都不能回到该点，那么它就是一个有向无环图。
什么是拓扑排序
在图论领域，有一个用于处理有向无环图（DAG）的重要方法，那就是拓扑排序。它的主要目的是把图里的所有顶点排列成一个线性序列，使得对于图中任意一条有向边 A → B，在这个序列里顶点 A 一定出现在顶点 B 的前面。简单来讲，就是要确定事件的执行顺序，保证所有的依赖关系都能得到满足。
当然要注意的时，拓扑序列可能不唯一。
拓扑排序的算法思想
Kahn算法
1.统计每个点的入度，将入度为0的顶点放入队列。
2.从队列中取出一个顶点，输出该顶点或者将其放入拓扑序列，将该顶点的出边删除，对该顶点的邻接点的入度减一。
3.重复步骤2，直到队列为空。如果图中还有未输出的顶点，则说明图中存在环，无法进行拓扑排序。（因为图中如果存在环的话，那么总会有顶点的入度不为0，也就无法放入队列进行拓扑排序）
DFS算法
深度优先遍历：通过递归的 DFS 遍历图中的每个顶点，处理其所有邻接顶点后再处理当前顶点
状态标记：使用vis数组标记顶点状态：
0：未访问
1：正在访问（在递归栈中）
2：已完成访问
逆序入栈：在 DFS 回溯时将顶点压入栈中，最终栈的顺序即为逆序的完成时间
执行流程：
初始化：所有顶点标记为 0（未访问）
遍历所有顶点：确保处理所有连通分量
递归 DFS：
标记当前顶点为 1（正在访问）
遍历所有邻接顶点：
若邻接顶点正在访问（状态 1），则存在环
若未访问，递归处理邻接顶点
处理完所有邻接顶点后，标记当前顶点为 2，并压入栈
输出结果：若检测到环则输出提示，否则按栈顺序输出顶点
拓扑排序的代码实现
Kahn算法
cpp
#include<iostream>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
int n, m;
int ind[105];
vector<int>p[105];
queue<int>q;
vector<int>topu;
int main() {
cin >> n >> m;
int x, y;
while (m--) {
cin >> x >> y;//添加x->y的有向边
p[x].push_back(y);
ind[y]++;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (ind[i] == 0)q.push(i);
}
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
topu.push_back(u);
q.pop();
for (int i = 0; i < p[u].size(); i++) {
int v = p[u][i];
ind[v]--;
if (ind[v] == 0)q.push(v);
}
}
if (topu.size() != n) {
cout << "存在环，无法进行拓扑排序" << endl;
}
return 0;
}当然这里除了用队列实现，还可以用栈来实现。我们来看看区别：
队列实现拓扑排序
队列遵循先进先出（FIFO）的原则。在拓扑排序中使用队列时，会先将入度为 0 的节点依次加入队列。之后，每次从队列头部取出一个节点进行处理，把该节点从图中移除（即减少其所有邻接节点的入度），若有邻接节点的入度变为 0 就将其加入队列尾部。这样的操作能保证按照节点入度为 0 的先后顺序依次处理节点，实现了一种层次化的排序，也就是广度优先搜索（BFS）的思想。
栈实现拓扑排序
栈遵循后进先出（LIFO）的原则。在拓扑排序里使用栈时，同样先把入度为 0 的节点压入栈。然后，每次从栈顶取出一个节点处理，移除该节点并更新其邻接节点的入度，若邻接节点入度变为 0 就将其压入栈。虽然栈的操作顺序和队列不同，但它依然能保证对于任意有向边 A → B，A 会在 B 之前被处理。因为只有当一个节点的所有前驱节点都被处理完（入度变为 0），它才会被加入栈中等待处理，所以最终也能得到一个合法的拓扑排序序列。
这里用栈和队列都可以得到拓扑序列，但是得到的序列顺序可能不同，例如：
对于边集 {(1,2), (1,3), (2,4), (3,4)}：
队列结果：1 → 2 → 3 → 4（按层处理）
栈结果：1 → 3 → 2 → 4（优先处理新入栈的节点）
DFS算法
cpp
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<stack>
using namespace std;
struct edge{
int v, next;
}e[10005];
int head[105];
stack<int>s;
int n, m;
int cnt;
int vis[105];
void add(int x, int y) {
e[cnt].v = y;
e[cnt].next = head[x];
head[x] = cnt;
cnt++;
}
int flag;
void dfs(int u) {
vis[u] = 1;
int v;
for (int i = head[u]; i != -1; i = e[i].next) {
v = e[i].v;
if (vis[v] == 1) {
flag = 1;
return;
}
else if(!vis[v]) {
dfs(v);
if (flag == 1) {
return;
}
}
}
vis[u] = 2;
s.push(u);
}
int main() {
cin >> n >> m;
memset(head, -1, sizeof(head));
int x, y;
while (m--) {
cin >> x >> y;
add(x, y);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (!vis[i]) {
dfs(i);
}
}
if (flag == 0) {
while (!s.empty()) {
cout << s.top() << " ";
s.pop();
}
}
else {
cout << "有环";
}
return 0;
}这里的dfs函数内，flag是用来判断是否有环的，vis[x]==1表示点x正在被访问中，如果此时它还能作为邻接点，则说明图中存在环，vis[x]==2则说明点x已访问，此时把它放入栈中，最后栈中的序列就是拓扑序列。
关于拓扑排序的相关习题
后续有时间会更新题解。