【C++经典例题】杨辉三角问题

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一、问题描述

二、解题思路

[解法 1 思路](#解法 1 思路)

[解法 2 思路](#解法 2 思路)

三、代码实现

[解法 1 代码](#解法 1 代码)

[解法 2 代码](#解法 2 代码)

四、总结

"杨辉三角" 问题是一道经典的算法题目，它不仅考验对数组操作的熟练程度，还需要深入理解杨辉三角的数学特性。

本文将详细介绍该问题的描述、解题思路以及两种不同的代码实现方案。

一、问题描述

给定一个非负整数 numRows，要求生成「杨辉三角」的前 numRows 行。

在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

例如，当 numRows = 5 时，生成的杨辉三角如下：

cpp 复制代码

[

[1],

[1,1],

[1,2,1],

[1,3,3,1],

[1,4,6,4,1]

]

杨辉三角只是在逻辑上想象为一个等腰三角形

在计算机中实际存储，其实是这样的：

二、解题思路

解法 1 思路

初始化结果数组：

首先创建一个二维向量 result，也就是vector<vector<int>>，它的大小为 numRows，这将用于存储杨辉三角的每一行。
内层vector的大小根据行号 i 来确定，第 i 行有 i + 1 个元素。并且将每一行的所有元素初始化为 1，这是因为杨辉三角每一行的首尾元素都是 1

计算中间元素：

从第三行（索引为 2）开始，因为前两行已经全部初始化为 1，不需要额外计算。
对于每一行的中间元素（索引 j 从 1 到该行元素个数减 2），其值等于上一行同一列的元素 result $i - 1$ $j - 1$ 加上上一行前一列的元素 result $i - 1$ $j$ 。通过两层循环，外层循环控制行数，内层循环控制每行的元素位置，从而完成杨辉三角的生成。

解法 2 思路

处理边界情况：

首先首先创建一个二维向量 result，vector<vector<int>>,检查输入的 numRows 是否为 0，如果是，则直接返回空的 vectot<vector<int>> result ，因为不需要生成任何行。
接着处理 numRows 为 1 的情况，将第一行 $1$ 直接添加到 result 中并返回。

初始化前两行：

当 numRows 大于 1 时，先将第一行 $1$ 和第二行 $1, 1$ 添加到 result 中。

生成后续行：

（当numRows超过2时，才需要计算）

从第三行（索引为 2）开始生成。
对于每一行，首先创建一个大小为 i + 1 的vector <int>row。
明确每行的首元素 row $0$ 和尾元素 row $i$ 都为 1。
对于中间元素（索引 j 从 1 到 i - 1），其值同样通过上一行对应位置的元素相加得到，即 row $j$ = result $i - 1$ $j - 1$ + result $i - 1$ $j$ 。最后将生成的行 row 添加到 result 中。

三、代码实现

解法 1 代码

cpp 复制代码

class Solution1 
{
    public:
    vector<vector<int>> generate(int numRows) 
    {
        vector<vector<int>> result(numRows, vector<int>());

        for (int i = 0; i < numRows; ++i) // 每行确定数据个数，并全部初始化为1
        {
            result[i].resize(i + 1, 1);
        }

        for (int i = 2; i < numRows; ++i) // 依次计算每行除首尾元素外的值,前两行不需要计算
        {
            for (int j = 1; j < result[i].size() - 1; ++j) 
            {
                result[i][j] = result[i - 1][j - 1] + result[i - 1][j];
            }
        }

        return result;
    }
};

解法 2 代码

cpp 复制代码

class Solution2 
{
public:
    vector<vector<int>> generate(int numRows) 
    {
        vector<vector<int>> result;
        if (numRows == 0) return result;

        // 处理第一行
        result.push_back({ 1 });
        if (numRows == 1) return result;

        // 处理第二行
        result.push_back({ 1, 1 });
       

        // 从第三行开始生成
        for (int i = 2; i < numRows; ++i) 
        {
            vector<int> row(i + 1);
            row[0] = 1; // 首元素为1
            row[i] = 1; // 尾元素为1

            // 计算中间元素
            for (int j = 1; j < i; ++j) 
            {
                row[j] = result[i - 1][j - 1] + result[i - 1][j];
            }
    
            result.push_back(row);
        }

    return result;
    }
};

四、总结

这两种解法都通过对杨辉三角特性的理解，利用循环和数组操作来生成所需的杨辉三角。

解法 1 相对更简洁，通过一次初始化所有行并填充首尾元素为 1，再集中计算中间元素。

解法 2 则更具逻辑性，逐步处理每一行，先处理边界情况，再依次生成后续行。

两种解法在时间复杂度和空间复杂度上基本相同，时间复杂度为 O(numRows^2))，因为需要遍历杨辉三角的每一个元素；

空间复杂度同样为 (O(numRows^2))，用于存储生成的杨辉三角。

通过对这道题目的深入分析和实现，能够有效提升对数组操作和算法设计的能力。