算法——分治

学习目标：

• 掌握算法入门知识

学习内容：

1. 分治的定义
2. 例题详细步骤讲解（查找最大和次大元素）

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1. 分治的定义

对于一个大规模的问题，将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归 地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

① 分解：将原问题分解为若干个规模较小且与原问题形式相同的子问题。

② 求解子问题：若子问题规模较小容易被解决则直接求解，否则递归地求解各个子问题。

③ 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

2. 例题详细步骤讲解

查找最大和次大元素：对于给定的含有n元素的无序序列，求这个序列中最大和次大的两个不同的元素。例如：（2, 5, 1, 4, 6, 3），最大元素为6，次大元素为5。

• 具体分析：

  对于一个无序序列a，假设最初 a0为alow，an-1为ahigh，最大元素max1为0，次大元素max2为0，MAX(x,y)用来求两个元素中的最大值，MIN(x,y)用来求两个元素中的最小值：

  （1）当数组a中只有一个 元素：max1=alow，max2=-INF。

  （2）当数组a中只有两个 元素：max1=MAX(alow，ahigh)，max2=MIN(alow，ahigh)。

  （3）当数组a中有两个以上元素：

  • 划分：按中间位置 mid=(low+high)/2 分为alow...mid和amid+1...high左右两个区间。
  • 求出左区间最大元素lmax1和次大元素lmax2，求出右区间最大元素rmax1和次大元素rmax2。
  • 合并：若lmax1>rmax1，则max1=lmax1，max2=MAX(lmax2，rmax1)；否则max1=rmax1，max2=MAX(lmax1，rmax2)。

• 具体过程：

  （2，5，1，4，6，3）

low=0，high=5，high-low>1数组中有两个以上元素，进行划分。mid=(low+high)/2=2，递归求解a0...2，a3...5}
（划分左区间a0...2）low=0，high=2，high-low>1数组中有两个以上元素，进行划分。mid=(low+high)/2=1，递归求解a0...1，a2...2

• （划分左区间a0...1）low=0，high=1，high-low=1数组中有两个元素。max1=5，max2=2
• （划分右区间a2...2）low=2，high=2，high-low=0数组中有1个元素。max1=alow=1，max2=-INF
• 进行合并，在（左区间）中得到的分别为lmax1和lmax2，在（右区间）中得到的分别为rmax1和rmax2。得到该部分max1=5，max2=2

（划分右区间a3...5）low=3，high=5，high-low>1数组中有两个以上元素，进行划分。mid=(low+high)/2=4，递归求解a3...4，a5...5

• （划分左区间a3...4）low=3，high=4，high-low=1数组中有两个元素。max1=6，max2=4
• （划分右区间a5...5）low=5，high=5，high-low=0数组中有1个元素。max1=alow=3，max2=-INF
• 进行合并，在（左区间）中得到的分别为lmax1和lmax2，在（右区间）中得到的分别为rmax1和rmax2。得到该部分max1=6，max2=4

进行合并，lmax1=5，lmax2=2，rmax1=6，rmax2=4。得出max1=6，max2=5

• 具体代码：

#include <stdio.h>
#include <limits.h> // 用于定义INT_MIN

#define INF INT_MIN

void solve(int a[], int low, int high, int *max1, int *max2) {
    if (low == high) {       // 区间只有一个元素
        *max1 = a[low];
        *max2 = -INF;
    } else if (low == high - 1) { // 区间只有两个元素
        *max1 = (a[low] > a[high]) ? a[low] : a[high];
        *max2 = (a[low] < a[high]) ? a[low] : a[high];
    } else {                // 区间有两个以上元素
        int mid = (low + high) / 2;
        int lmax1, lmax2;
        solve(a, low, mid, &lmax1, &lmax2);      // 左区间求lmax1和lmax2
        int rmax1, rmax2;
        solve(a, mid + 1, high, &rmax1, &rmax2); // 右区间求rmax1和rmax2
        
        if (lmax1 > rmax1) {
            *max1 = lmax1;
            *max2 = (lmax2 > rmax1) ? lmax2 : rmax1; // lmax2, rmax1中求次大元素
        } else {
            *max1 = rmax1;
            *max2 = (lmax1 > rmax2) ? lmax1 : rmax2; // lmax1, rmax2中求次大元素
        }
    }
}

int main() {
    int a[] = {2, 5, 1, 4, 6, 3};
    int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
    int max1, max2;
    
    solve(a, 0, n - 1, &max1, &max2);
    
    printf("最大元素: %d\n", max1);
    printf("次大元素: %d\n", max2);
    
    return 0;
}