【题解】AtCoder AT_abc400_c 2^a b^2

ArmeriaLeap2025-04-12 22:23

题目大意

我们定义满足下面条件的整数 X X X 为"好整数"：

存在一个 正整数 对 ( a , b ) (a,b) (a,b) 使得 X = 2 a ⋅ b 2 X=2^a\cdot b^2 X=2a⋅b2。
给定一个正整数 N N N（ 1 ≤ N ≤ 1 0 18 1\le N\le 10^{18} 1≤N≤1018），求 1 ∼ N 1\sim N 1∼N 中有多少"好整数"。

思路

下面是一张表格，第一列的数表示 a a a 的值，第一行表示 b b b 的值，第 x x x 列第 y y y 行的数表示 2 x ⋅ y 2 2^x\cdot y^2 2x⋅y2 的值。

a \ b	1	2	3	4
1	2	8	18	32
2	4	16	36	64
3	8	32	72	128
4	16	64	144	256

观察可得， 2 1 × 4 2 = 2 3 × 2 2 , 2 2 × 4 2 = 2 4 × 4 2 2^1\times 4^2=2^3\times2^2,\ 2^2\times4^2=2^4\times 4^2 21×42=23×22, 22×42=24×42，这的确是交换率的体现，但是我们仔细思考会发现，当 b b b 是二的倍数的时候，无论 a a a 取多少，都会有另一对 ( a ′ , b ′ ) (a',b') (a′,b′) 满足 2 a ′ ⋅ b ′ 2 = 2 a ⋅ b 2 2^{a'}\cdot {b'}^2=2^a\cdot b^2 2a′⋅b′2=2a⋅b2。

那么我们可以基于这个规律来减少枚举次数：枚举 b b b 的值，只需要枚举 1 ∼ ⌊ N ⌋ 1\sim \left \lfloor \sqrt{N}\right \rfloor 1∼⌊N ⌋ 的所有奇数；然后枚举所有满足 2 a ⋅ b 2 ≤ N 2^a\cdot b^2\le N 2a⋅b2≤N 的 a a a。这种做法不但快捷，还可以保证不重不漏，可以在规定时间内输出正确的答案。

代码

赛时提交记录（含有一些多余内容）：Submission #64615650。

cpp 复制代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL n, ans;

int main()
{
	cin >> n;
	for (LL i = 2; i <= n; i *= 2) ans++;
	for (LL i = 3; i * i * 2 <= n; i += 2)
		for (LL j = 2; i * i * j <= n; j *= 2)
			ans++;
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

总结

这是一道数学思维题，难度与比赛分值 350 分相符。希望这篇题解对你有帮助，如有想法欢迎在评论区提出！