记录刷题的过程、感悟、题解。
希望能帮到，那些与我一同前行的，来自远方的朋友😉
大纲：
5、路径-（题解）-披着图论的，dp🥲，怪吓人、其实跟图论没啥关系
题目：
1、空间
本题为填空题，只需要算出结果后，在代码中使用输出语句将所填结果输出即可。
小蓝准备用 256MB 的内存空间开一个数组，数组的每个元素都是 32 位 二进制整数，如果不考虑程序占用的空间和维护内存需要的辅助空间，请问 256MB 的空间可以存储多少个 32 位二进制整数？
运行限制
- 最大运行时间：1s
- 最大运行内存: 128M
/* 基础知识
1TB=1024GB
1GB=1024MB
1MB=1024KB
1KB=1024B(字节)
1B=8b(bit)
*/
// int 32位，4字节B
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
cout<<256*1024*1024/4<<endl;
return 0;
}2、卡片
问题描述
小蓝有 k 种卡片, 一个班有 n 位同学, 小蓝给每位同学发了两张卡片, 一 位同学的两张卡片可能是同一种, 也可能是不同种, 两张卡片没有顺序。没有 两位同学的卡片都是一样的。
给定 n, 请问小蓝的卡片至少有多少种?
输入格式
输入一行包含一个正整数表示 n 。
输出格式
输出一行包含一个整数, 表示答案。
样例输入
cpp6样例输出
cpp3样例说明
小朋友们手中的卡片可能是: (1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)。
评测用例规模与约定
对于 50 的评测用例, 1≤n≤104。
对于所有评测用例, 1≤n≤109。
运行限制
- 最大运行时间：1s
- 最大运行内存: 256M
其实这题，是可以不用动态规划。
简单的推导就行，简答的考察了一下思维。
大家看到了什么
第一个3个、2个、1个...倒序，对吧！就是根据这个，
你能简单的计算一下区间数量。（1、3、6...）从而逆向求出需要几张卡片。
举例：有5个小朋友，2张卡片，只能区分3个。而3张卡片能区分6个。所以，需要3张卡片。
cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
signed main(){
int n;
cin>>n;
int cnt = 1;
int sum = 1; // 能够表示的个数
while(true){
if(sum>=n) break;
cnt++;
sum+=cnt;
}
cout<<cnt<<endl;
return 0;
} 3、直线
题目描述
本题为填空题，只需要算出结果后，在代码中使用输出语句将所填结果输出即可。
在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。如果有多点在一条直线上， 那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。
给定平面上 2 × 3 个整点(x,y)∣0≤x<2,0≤y<3,x∈Z,y∈Z，即横坐标 是 0 到 1 (包含 0 和 1) 之间的整数、纵坐标是 0 到 2 (包含 0 和 2) 之间的整数 的点。这些点一共确定了 11 条不同的直线。
给定平面上 20×21 个整点 (x,y)∣0≤x<20,0≤y<21,x∈Z,y∈Z，即横 坐标是 0 到 19 (包含 0 和 19) 之间的整数、纵坐标是 0 到 20 (包含 0 和 20) 之 间的整数的点。
请问这些点一共确定了多少条不同的直线。
运行限制
- 最大运行时间：1s
- 最大运行内存: 128M
// 其实本题，能转化成简单的数学问题，也就是 是不是一条线的问题
// 咱们这道题：
/*
既然要找线段，首先就要确定两个点，从而确定一条线
但是有一种情况是，线段可能重复计算
排除重复的前提是，首先需要确定这条线：
这时，我们可以根据公式 y=kx+b;
我们可以根据 k 、b两个值，确定这条直线
（a1、b1）（a2、b2）
: b1 = ka1 + b
: b2 = kb2 + b
k = (b1-b2)/(a1-a2);
b = (a1*b2-a2*b1)/(a1-a2) -- 切记，这是化简之后的。
如果不化简，可能导致，精度损失过大，导致误判！！！
当然，在计算过程中，要排除一种情况，就是k无限大的可能。90°时，无限大。
但只有20个，直接跳过，可以在结尾上加入。
但是，前提要用set这个函数。 因为红黑树重载了pair，能用 < 比较
但是unordered_set，没有重载pair的哈希
*/
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
set<pair<double,double>> set;
for(int a1=0; a1<20; ++a1){
for(int b1=0; b1<21; ++b1){
// 位置第一个(i，j)位置
for(int a2=0; a2<20; ++a2){
for(int b2=0; b2<21; ++b2){
// 位置第二个(x，y)位置，现在，咱们知道了，两个位置，也可以开始计算了
// 这个时候，要排除两个点：
if(a1==a2) continue; // 当a1==a2的情况时 b1==b2重叠，b1!=b2 垂直
double k = (double)(b1-b2)/(a1-a2);
double b = (double)(a1*b2-a2*b1)/(a1-a2);
set.emplace(k,b);
}
}
}
}
cout<<set.size()+20<<endl;
return 0;
}4、货物摆放
题目描述
小蓝有一个超大的仓库，可以摆放很多货物。
现在，小蓝有 n 箱货物要摆放在仓库，每箱货物都是规则的正方体。小蓝规定了长、宽、高三个互相垂直的方向，每箱货物的边都必须严格平行于长、宽、高。
小蓝希望所有的货物最终摆成一个大的长方体。即在长、宽、高的方向上分别堆 L、W、H 的货物,满足 n=L×W×H。
给定 n，请问有多少种堆放货物的方案满足要求。
例如，当 n=4 时，有以下 6 种方案：1×1×4、1×2×2、1×4×1、2×1×2、2×2×1、4×1×1。
请问，当 n=2021041820210418（注意有 16 位数字）时，总共有多少种方案？
提示：建议使用计算机编程解决问题。
答案提交
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。
/*
讲一个冷知识，普遍大家的编辑器，1s空转大概也就1e8次~1e9次之间
而本题大概有1e16次方这么大，所有就不要有不切实际的幻想啦！
所以做这种题目，不要怀疑！直接对数据提前处理。
就算预处理，依然要考虑一件事情，就是怎么处理16位数据。
对题目分解，你或许会发现，其实本题参与运算的，其实都是质因数。
当然，这里有一个冷知识，注意开辟数组的大小。int类型数组，开到1e8大概400MB，long long为800MB（都会内存越界），所以开到1e7最为合适。
*/
cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
const int N = 1e7;
int arr[N];
using namespace std;
signed main(){
int sum = 2021041820210418;
int cnt = 0;
// 通过巧妙的数学思维，转换高纬度运算。并且求值
for(int i=1; i*i<=sum; ++i){
if(sum%i==0) arr[cnt++]=i;
if(sum%i==0&&sum/i!=i) arr[cnt++]=sum/i; // 切记，千万别忘加sum%i，否则会导致误判很多
}
int res = 0;
for(int i=0; i<cnt; ++i)
for(int j=0; j<cnt; ++j)
for(int k=0; k<cnt; ++k)
if(arr[i]*arr[j]*arr[k]==sum) res++;
cout<<res<<endl;
return 0;
} 5、路径
本题为填空题，只需要算出结果后，在代码中使用输出语句将所填结果输出即可。
小蓝学习了最短路径之后特别高兴，他定义了一个特别的图，希望找到图 中的最短路径。
小蓝的图由 2021 个结点组成，依次编号 1 至 2021。
对于两个不同的结点 a, b，如果 a 和 b 的差的绝对值大于 21，则两个结点 之间没有边相连；如果 a 和 b 的差的绝对值小于等于 21，则两个点之间有一条 长度为 a 和 b 的最小公倍数的无向边相连。
例如：结点 1 和结点 23 之间没有边相连；结点 3 和结点 24 之间有一条无 向边，长度为 24；结点 15 和结点 25 之间有一条无向边，长度为 75。
请计算，结点 1 和结点 2021 之间的最短路径长度是多少。
提示：建议使用计算机编程解决问题。
运行限制
- 最大运行时间：1s
- 最大运行内存: 128M
/*
如果，真的把这道题目当作图论来写，那就真是小可爱。
怎么说呢，就是一道，血脉纯正的dp，与图真的，不太沾边
但是，写这道题目的前提是，
你要会求解 lcm，而求解lcm的前提是，你会求解 gcd。
当这一切搞定，那就理所应当的开始dp之旅吧
dp[i]的，定义可以看作是 到达i 所走的距离
*/
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[2070]; // 稍稍开大一点
int gcd(int a, int b){
return a%b==0?b:gcd(b,a%b);
}
int main(){
// dp[i]代表，到达i所走的距离
for(int i=1; i<=2021; ++i){
for(int j=i+1; j<=i+21; ++j){ // 当然是算21的差距啦
if(dp[j]==0) dp[j]=dp[i]+i*j/gcd(i,j);
else dp[j]=min(dp[j],dp[i]+i*j/gcd(i,j));
}
}
cout<<dp[2021]<<endl;
return 0;
} 6、时间显示
题目描述
小蓝要和朋友合作开发一个时间显示的网站。
在服务器上，朋友已经获取了当前的时间，用一个整数表示，值为从 1970 年 11 月 11 日 00:00:00 到当前时刻经过的毫秒数。
现在，小蓝要在客户端显示出这个时间。小蓝不用显示出年月日，只需要显示出时分秒即可，毫秒也不用显示，直接舍去即可。
给定一个用整数表示的时间，请将这个时间对应的时分秒输出。
输入描述
输入一行包含一个整数，表示时间。
输出描述
输出时分秒表示的当前时间，格式形如
HH:MM:SS，其中HH表示时，值为 0 到 23，MM表示分，值为 00 到 59，SS表示秒，值为 0 到 59。时、分、秒 不足两位时补前导 0。输入输出样例
示例 1
输入
46800999输出
13:00:00示例 2
输入
1618708103123输出
01:08:23评测用例规模与约定
对于所有评测用例，给定的时间为不超过 10^18 的正整数。
// 毫秒的计算单位
// 当时的思考过程：先求出，有多少秒，在求出，有多少分，最后在求出，有多少小时，本题跟年、月无关
// 炸了，无论怎么写，好像都不对
// printf . 的位置，哪里错了？？！！！
/*
其实这里有两点需要注意：1s=1000ms； 1ms=1000ns
第二点，就是printf()的格式说明。
· 1、整数补零格式：printf("%02lld",a)；补成3的格式：printf("%32lld",a);不足两位的补成3
2、精度（四舍五入）的格式 printf("%.4lf",a)；小数点后4位
*/
cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
// 毫秒的计算单位
signed main(){
int sum;
cin>>sum;
int ss = (sum/1000)%60; // 有多少秒
int mm = (sum/1000/60)%60; // 有多少分
int hh = (sum/1000/60/60)%24; // 求有多少小时
printf("%02lld:%02lld:%02lld",hh,mm,ss);
return 0;
}7、砝码称重
问题描述
你有一架天平和 N 个砝码，这 N 个砝码重量依次是 W1,W2,⋅⋅⋅,WN。
请你计算一共可以称出多少种不同的重量？ 注意砝码可以放在天平两边。
输入格式
输入的第一行包含一个整数 N。
第二行包含 NN 个整数：W1,W2,W3,⋅⋅⋅,WN。
输出格式
输出一个整数代表答案。
样例输入
3 1 4 6样例输出
10样例说明
能称出的 10 种重量是：1、2、3、4、5、6、7、9、10、11。
1=1；
2=6−4(天平一边放 6，另一边放 4)；
3=4−1；
4=4；
5=6−1；
6=6；
7=1+6；
9=4+6−1；
10=4+6；
11=1+4+6。
评测用例规模与约定
对于 50的评测用例，1≤N≤15。
对于所有评测用例，1≤N≤100,N个砝码总重不超过 100000。
运行限制
- 最大运行时间：1s
- 最大运行内存: 256M
// 要给出暴力解法
/*
怎么说呢，这道题目，都暗示的这么明显了。
其实多少有点背包问题的味道。
但，他可比背包问题，多了不同的情况
（背包问题考虑的是，放还是不放
（砝码问题，考虑的是，放的时候，放左边，还是放右边，或者不放
所以大胆的设dp值：dp[i][j] 含义是第i个砝码，能够称出的重量为j
递推公式，更易推导出来
咱们这里先举出所有递推公式：
( dp[i-1][j];
( dp[i-1][abs(j-w)]
( dp[i-1][j+w]
放入第i个砝码时，判断能否称出重量k 是由上一个砝码决定的。
如本题：1 4 6
dp[i-1][j]
当轮到砝码6时，判断是否能称出1时，dp[i][k]=dp[i-1][k]，直接判断之前是否出现这种情况。
dp[i-1][j+w]
大家可以找一个，他的作用是，放在天平两侧
1、4、6无法举出好例子，当如果i-1时，能称出，12这个重量，那么dp[i-1][12-6]就相当于称出了6这个重量。
dp[i-1][abs(j-w)]，公式推导，天平放在同一侧。
当轮到砝码6时，判断能否称出2这个重量时，2-6;-->看的就是 是否存在 dp[i-1][abs(2-6)]--dp[i-1][abs(i-j)];
判断是否能称出砝码10时，10-6；--> 看的就是 是否存在 dp[i-1][abs(10-6)]--dp[i-1][abs(i-j)];
注：其实，j-w<0时，就相当于，放在了天平两侧
*/
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e2+5;
const int W = 2e5+5;
int dp[N][W];
int weight[N];
int main(){
memset(dp,0,sizeof dp);
int n; // 表示有几个砝码
cin>>n;
for(int i=1; i<=n; ++i) cin>>weight[i]; // 天呐，简直了
dp[0][0]=1;
for(int i=1; i<=n; ++i){
int w = weight[i]; // 原来是这样子的呢。
for(int k=0; k<100001; ++k){ // 原来是这样子的呢。的呢。
if(dp[i-1][k]) dp[i][k]=dp[i-1][k];
else {
dp[i][k]=max(dp[i-1][abs(k-w)],dp[i-1][k+w]);
}
}
}
int cnt = 0;
for(int i=1; i<100001; ++i) if(dp[n][i]) cnt++;
cout<<cnt;
return 0;
}8、杨辉三角形
题目描述
下面的图形是著名的杨辉三角形：
如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列： 1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,⋯
给定一个正整数 N，请你输出数列中第一次出现 NN 是在第几个数？
输入描述
输入一个整数 N。
输出描述
输出一个整数代表答案。
输入输出样例
示例 1
输入
6输出
13评测用例规模与约定
对于 20 的评测用例，1≤N≤10； 对于所有评测用例，1≤N≤1000000000。
/*
能完成这道题目，观察思维都是次要的，因为，你要首先要知道杨辉三角与组合数的关系。
当你知道与组合数之间的关系后，再看看y总讲解。切记先上网找资料研究一下。
*/
cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
// 为啥>>1 不行？？？
// 求该数值
int get_num(int n, int m,int num){
int res=1;
// 这样避免造成精度损失
for(int i=n,j=1; j<=m; i--,j++){
res*=i;
res/=j;
if(res>num) return res; // 避免了，组合数溢出，成为负数的问题
}
// for(int i=n,j=m; j>0; i--,j--) res*=i/j;
// 要排除掉这种情况！会造成精度损失
return res;
}
bool get_res(int k, int num){
int l = 2*k, r=max(num,2*k); // 直接延申有边界，但是会存在num<2*k的情况.
while(l<=r){ // 二分查找，查找第一个大于等于
int mid = l+(r-l)/2;
if(get_num(mid,k,num)>=num) r=mid-1;
else l=mid+1;
}
if(get_num(l,k,num)==num) cout<<k+1+(l+1)*l/2<<endl;
else return false;
return true;
}
signed main(){
int num;
cin>>num;
if(num==1){ // 如果是1，就可以直接结束了。
cout<<1<<endl;
return 0;
}
// 开启二分查找
for(int i=16; i>=1; --i){
if(get_res(i,num)) return 0;
}
return 0;
} 9、双向排序
题目描述
给定序列 (a1,a2,⋅⋅⋅,an)=(1,2,⋅⋅⋅,n)，即 ai=i。
小蓝将对这个序列进行 mm 次操作，每次可能是将 a1,a2,⋯,aqi 降序排列，或者将 aqi,aqi+1,⋯,an 升序排列。
请求出操作完成后的序列。
输入描述
输入的第一行包含两个整数 n,m，分别表示序列的长度和操作次数。
接下来 m 行描述对序列的操作，其中第 i 行包含两个整数 pi,qi 表示操作类型和参数。当 pi=0时，表示将 a1,a2,⋅⋅⋅,aqi降序排列；当 pi=1 时，表示将 aqi,aqi+1,⋯, 升序排列。
输出描述
输出一行，包含 n 个整数，相邻的整数之间使用一个空格分隔，表示操作完成后的序列。
输入输出样例
示例
输入
3 3 0 3 1 2 0 2输出
3 1 2样例说明
原数列为 (1,2,3)。
第 1 步后为 (3,2,1)。
第 2 步后为 (3,1,2)。
第 3 步后为 (3,1,2)。与第 2 步操作后相同，因为前两个数已经是降序了。
评测用例规模与约定
对于 30% 的评测用例，n,m≤1000；
对于 60% 的评测用例，n,m≤5000；
对于所有评测用例，1≤n,m≤100000，0≤pi≤1，1≤qi≤n。
好啦，这道题目，y总讲解的也挺不错的，大家可以直接食用 :: 传送门 ::
cpp
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N=1e5+7;
PII stk[N];//栈记录有效操作
int s[N],top;//最后的数组，top为栈的头指针
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
while(m--){//m次操作
int q,p;
cin>>q>>p;
if(!q){
while(top && stk[top].first==0)p=max(p,stk[top--].second);//对于重复降序，我们只需要保持最长值
while(top>=2 && stk[top-1].second<=p)top-=2;//维持交错的单调性
stk[++top]={0,p};
}
else if(top){
while(top && stk[top].first==1)p=min(p,stk[top--].second);
while(top>=2 && stk[top-1].second >=p)top-=2;
stk[++top]={1,p};
}
}
int l=1,r=n,k=n;
for(int i=1;i<=top;i++)//读取栈
if(stk[i].first)//读取他的正逆序
while(l<stk[i].second && l<=r)s[l++]=k--;
else
while(r>stk[i].second && l<=r)s[r--]=k--;
//最后补充未填充的数
if(top!=0&&stk[top].first==0) // 若有余数则为降序
while(l<=r) s[l++]=k--;
else if(top!=0)
while(l<=r) s[r--]=k--;
for(int i=1;i<=n;i++)
cout<<s[i]<<" ";
}最后一道题，哎，一言难进....
知识点：
1、蓝桥杯常考基础知识点：
数据类型与取值范围
- int类型 32 位系统中，占4个字节，取值范围是 -2^31 到 2^31-1。
- long类型 一般占8个字节，取值（18个整数左右）
- float类型 占4个字节，用于表示单精度浮点数，有一定的精度范围。
- double类型 占用8个字节，是双精度浮点数，精度更高（通常16~17个整数，long double 19个）
进制转换：
- 二进制、八进制、十进制、十六进制之间转换，其中十六进制，(十->二)可以使用除2取余法。将二进制转换为十六进制，可以每位4位一组转换。
- 位运算与进制之间的关系。如左移一位，相当于乘2
字符编码：
- ASCII码：是一种常见编码，通常由7位、8位二进制数表示一个二进制数表示一个字符。总共可以表示128个 or 256个。
- Unicode编码：为世界上几乎所有的字符都分配了一个唯一的数字编号，包括汉字、希腊字母、阿拉伯字母等各种字符集。常见的 Unicode 编码实现有 UTF-8、UTF-16 等，UTF-8 是一种可变长度的编码方式，它可以用 1 到 4 个字节来表示一个字符，能够很好地兼容 ASCII 码。
计算机存储单位换算
TB（太字节）、GB（吉字节）、MB、KB(千字节)、B、b；
b(1位、1bit)
B(1字节)
KB = 1024B
MB = 1024KB
时间单位换算
1 秒（s）= 1000 毫秒（ms），1 毫秒 = 1000 微秒（μs），1 微秒 = 1000 纳秒（ns）
2、基础数学知识
- 数论
- 质数：判断一个数是否为质数、质数的筛选（如埃氏筛法、线性筛法）等。
- 约数：求一个数的约数个数、约数之和，以及最大公约数和最小公倍数的计算方法，如辗转相除法。
- 同余：同余的概念、性质，以及求解同余方程等。例如，在一些密码学相关的题目中，可能会用到同余的知识来进行加密和解密操作。
- 组合数学
- 排列组合：计算排列数和组合数，解决一些与计数相关的问题，如在给定条件下的排列方式有多少种，或者从若干元素中选取部分元素的组合方法数等。
- 鸽巢原理：用于解决一些存在性问题，例如证明在一定数量的物体分配到若干个集合中，必然存在某个集合满足特定条件。
- 容斥原理：计算多个集合的并集元素个数，通过容斥原理可以避免重复计算，在一些复杂的计数问题中经常会用到。
3、概率论与统计学
- 概率计算：计算事件发生的概率，包括古典概型、条件概率、全概率公式等。例如，在一些抽奖、游戏等场景的题目中，需要运用概率知识来分析结果。
- 期望与方差：理解期望和方差的概念，能够计算随机变量的期望和方差，用于评估随机现象的平均水平和波动程度。
4、几何知识
- 平面几何：掌握点、线、面的相关性质和计算，如两点间距离公式、直线的斜率、三角形的面积、相似三角形的性质等。在一些图形处理、路径规划等类型的题目中会用到平面几何知识。
- 解析几何：将几何问题转化为代数问题进行求解，例如通过建立坐标系，利用直线方程、圆的方程等来解决相关问题。
5、离散数学
- 图论：图的基本概念，如顶点、边、度数、连通图等；图的遍历算法，如深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）；以及一些经典的图论算法，如最短路径算法（迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法）、最小生成树算法（普里姆算法、克鲁斯卡尔算法）等。图论在解决网络拓扑、路径规划、任务分配等问题中有着广泛的应用。
- 逻辑推理：命题逻辑、谓词逻辑的基本概念和推理规则，能够进行逻辑表达式的化简、证明以及逻辑推理问题的求解。在一些需要根据给定条件进行推理判断的题目中，逻辑推理能力是关键。
6、
的时间奥秘
通常，他是用到分治法中的，每次区间减半。（如：二分查找）
假设有n个数值，n/2^k=1；
对数转化：2^k=n ::: k =
所以就是这么求log的时间复杂度的。