【数论】线性筛质数

线性筛质数

在之前的一篇筛质数的文章中只解释了埃式筛质数的方法，没有解释线性筛质数的方法

我们先看一下线性筛质数的代码

【例题】

给定一个正整数 n，请你求出 1∼n 中质数的个数。

输入格式

共一行，包含整数 n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示 1∼n 中质数的个数。

数据范围

1≤n≤ 1 0 6 10^6 106

输入样例：

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输出样例：

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java 复制代码

import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main {
    static final int N = 1000010;
    static int prime[] = new int[N];
    static boolean st[] = new boolean[N];
    static int idx;
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        function(sc.nextInt());
        System.out.println(idx);
        sc.close();
    }
    public static void function(int n) {
        for(int i = 2; i<= n; i++) {
            //如果i不是合数，则i为质数
            if(!st[i]) {
                prime[idx++] = i;
            }
            //从小到大枚举质数，循环条件为prime[j] <= n / i的原因是在循环体里面用prime[j]筛掉prime[j] * i的质数
            for(int j = 0; prime[j] <= n / i; j++) {
                st[prime[j] * i] = true;
                if(i % prime[j] == 0) {
                    break;
                }
            }
        }
    }
}

在这个代码中st数组记录的是合数，prime数组记录的是质数

其中每次都是从小到大枚举质数，所以会有两种情况

情况1 i % prime[j] == 0

在这种情况下，prime[j]一定是质数

假设存在一个比 prime[j] 更小的质因子 prime[k] 能整除 i ，那么在之前遍历到 prime[k] 时，就会因为 i 能被 prime[k] 整除而提前跳出内层循环，不会到 prime[j] 这一步，所以当 i % prime[j] == 0 时，prime[j] 是 i 的最小质因子。

因为 pj 是质数，且 pj 是 i 的最小质因子，对于 pj * i 这个数，显然 pj 是它的质因子。并且不存在比 pj 更小的质因子能同时整除 pj 和 i ，所以 pj 是 pj * i 的最小质因子。
情况2 i % prime[j] != 0

在这种情况下，prime[j]一定比i的最小质因子还小，因为primes 数组里的质数是从小到大排列的。如果 i 存在比 prime[j] 小的质因子，那么在之前遍历到那个更小的质因子时，就会发现它能整除 i ，即 i 对那个更小的质因子取模为 0 。

而且在这种情况下，prime[j]也一定是prime[j] * i的最小质因子

对于一个合数x ，我们假设已经确定了它的最小质因子prime[j] 。

在筛法的循环过程中，我们会从较小的数开始枚举i 。当枚举到(i = x / prime $j$ ) 时，此时(prime $j$ * i = x) 。这是因为根据数的因数关系，如果prime $j$ 是x 的最小质因子，那么x 可以表示为(x = prime $j$ * k) （k 为整数），这里的k 就是(x / prime $j$ )