NO.97十六届蓝桥杯备战|数论板块-最大公约数和最小公倍数|欧几里得算法|秦九韶算法|小红的gcd(C++)

约数和倍数

• 如果a 除以b 没有余数，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的约数，记作b ∣ a 。
  约数，也称因数。

最⼤公约数和最⼩公倍数

最⼤公约数Greatest Common Divisor，常缩写为gcd。

• ⼀组整数的公约数，是指同时是这组数中每⼀个数的约数的数。
• ⼀组整数的最⼤公约数，是指所有公约数⾥⾯最⼤的⼀个。
  最⼩公倍数Least Common Multiple，常缩写为lcm。
• ⼀组整数的公倍数，是指同时是这组数中每⼀个数的倍数的数。
• ⼀组整数的最⼩公倍数，是指所有正的公倍数⾥⾯，最⼩的⼀个数。
  求两个数的gcd与lcm时，有如下性质：
• 对于两个数a和b ，gcd(a, b) × lcm(a, b) = a × b。也就是最⼤公约数乘以最⼩公倍数等于两个数的乘积。
  因此，⼀般先求最⼤公约数，然后⽤这个性质求最⼩公倍数。

欧⼏⾥得算法

欧⼏⾥得算法也称辗转相除法，可以求出两个整数的最⼤公约数。

算法流程：

设a > b ：

• 如果b 是a 的约数，那么b 就是两者的最⼤公约数；
• 如果b 不是a 的约数，那么gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
  因为a mod b 会不断减⼩，因此可以⽤递归进⾏求解

LL gcd(LL a, LL b)  
{  
	if(!b) return a; // 如果 b 等于 0，说明 a 就是最⼤公约数  
	return gcd(b, a % b);  
}

时间复杂度：

求gcd(a, b) 会遇到两种情况：

1. a < b ，则gcd(a, b) = gcd(b, a)
2. a > b ，则gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
   第⼆种情况会让a ⾄少折半，因此最多执⾏log n 次。
   第⼀种情况不会多于第⼆种，因此时间复杂度为O(log n)

证明gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) ，思路：先证左边等于右边，再证右边等于左边。

设a > b ，a mod b = a - kb ，其中k = a/b ，为整数：

1. 若d是(a, b)的公约数，则d | a且d | b ，于是d | (a - kb) ，则d | (a mod b) ；因此d也是(b, a mod b) 的公约数；
2. 若d是(b, a mod b)的公约数，则d∣b且d∣(a - kb) ，于是d∣(a - kb + kb) = d∣(a) ；因此d也是(a, b)的公约数；
   所以(a, b) 的公约数与(b, a mod b) 的公约数相同，那么最⼤公约数也相同

B3736 信息与未来 2018 最大公约数 - 洛谷

三个数的最⼤公约数，先求其中两个的gcd，再与第三个求gcd

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int x, y, z; cin >> x >> y >> z;
    cout << gcd(gcd(x, y), z) << endl;

    return 0;
}

小红的 gcd

先将⼤数取模，然后再代⼊公式计算

秦九韶算法

秦九韶算法是⼀种将⼀元n次多项式的求值问题转化为n个⼀次式的算法。其⼤⼤简化了计算过程，即使在现代，利⽤计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法

例如：对于⼀个整数987654321 ，可以拆成：
( ( ( ( ( ( ( 9 × 10 + 8 ) × 10 + 7 ) × 10 + 6 ) × 10 + 5 ) × 10 + 4 ) × 10 + 3 ) × 10 + 2 ) × 10 + 1 (((((((9 × 10 + 8) × 10 + 7) × 10 + 6) × 10 + 5) × 10 + 4) × 10 + 3) × 10 + 2) × 10 + 1 (((((((9×10+8)×10+7)×10+6)×10+5)×10+4)×10+3)×10+2)×10+1

这样对于⾼精度的数取模，就可以分阶段取模

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

string a; int b;

int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

int calc()
{
    long long t = 0;
    for (auto ch : a)
    {
        t = t * 10 + ch - '0';
        t %= b;
    }
    return t;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin >> a >> b;
    
    cout << gcd(b, calc()) << endl;
    
    return 0;
}