LeetCode416 分割等和子集

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解法一：子集背包问题抽象，二维dp

回忆一下 0-1 背包问题定义

给你一个可装载重量为 W 的背包和 N 个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第 i 个物品的重量为 wt[i]，价值为 val[i]，现在让你用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？

其中，物品不可以分割，要么装进包里，要么不装，不能说切成两块装一半。这就是 0-1 背包这个名词的来历。

解决这个问题没有什么排序之类巧妙的方法，只能穷举所有可能，采用动态规划。

为什么说这道题是背包问题？

我们可以先对集合求和，得出 sum，然后把问题转化为背包问题：给一个可装载重量为 sum / 2 的背包和 N 个物品，每个物品的重量为 nums[i]。现在让你装物品，是否存在一种装法，能够恰好将背包装满？

因为我们的答案只是原数组的一个子集，因此这类问题可以称为子集背包问题。

自底向上的递推dp

明确【状态】和【选择】：在典型背包问题中，【状态】就是背包的容量和可选择的物品列表，【选择】就是装或不装进背包，那么套入这道题中，【状态】就是「子集元素和」和「可选择的元素」，【选择】就是第i个元素加不加入子集中
明确dp数组定义 ：dp[i][j] = x，对于前 i 个物品（i 从 1 开始计数），当前背包的容量为 j 时，若 x 为 true，则说明可以恰好将背包装满，若 x 为 false，则说明不能恰好将背包装满。例如，dp[4][9] = true的含义是对于给定的集合中，若只在前 4 个数字中进行选择，存在一个子集可以恰好凑出元素和为 9。根据这个定义，我们想求的最终答案就是 dp[len(nums)][sum/2]，base case 就是 dp[...][0] = true 和 dp[0][...] = false，因为背包没有空间的时候，就相当于装满了，而当没有物品可选择的时候，肯定没办法装满背包。
明确状态转移 ：如果不把 nums[i] 加入子集，或者说你不把这第 i 个物品装入背包，那么是否能够恰好装满背包，取决于上一个状态 dp[i-1][j]，继承之前的结果；如果把 nums[i] 加入子集，或者说你把这第 i 个物品装入了背包，那么是否能够恰好装满背包，取决于状态 dp[i-1][j-nums[i-1]]

go 复制代码

func canPartition(nums []int) bool {
    var sum int
    for _, v := range nums{
        sum += v
    }
    if sum %2 != 0{ // 奇数和无法分割为两个元素和（sum/2）相同的子集
        return false
    }
    // dp[i][j]表示在数组的前i个元素中，能否凑出元素和为j的子集
    // 那么，本题就是要找到dp[n][sum/2]，n为nums的长度
    dp := make([][]bool, len(nums)+1) // 考虑0个元素的情况，长度+1
    for i := range dp{
        dp[i] = make([]bool, sum/2 + 1) // 考虑和为0的情况，长度+1
        // base case
        dp[i][0] = true
    }
    // 递推更新dp
    // dp[0][j]（j>0）肯定为false，i从 1开始遍历即可
    for i:= 1; i<len(dp); i++{
        for j:=1; j<len(dp[0]); j++{
            // 由于 dp数组定义中的 i是从 1开始计数，而数组索引是从 0开始的，所以第 i个元素值应该是nums[i-1]
            if nums[i-1] > j{ // 第i个元素超出元素和，不能加入
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            }else{ // 选择加入或不加入，有一种满足答案即可
                dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j - nums[i-1]]
            }
        }
    }
    return dp[len(nums)][sum/2]
}

优化空间

注意到 dp[i][j] 都是通过上一行 dp[i-1][..] 转移过来的 ，之前的数据都不会再使用了。可以将二维 dp 数组压缩为一维，节约空间复杂度。

go 复制代码

func canPartition(nums []int) bool {
    var sum int
    for _, v := range nums{
        sum += v
    }
    if sum %2 != 0{ // 奇数和无法分割为两个元素和（sum/2）相同的子集
        return false
    }
    dp := make([]bool, sum/2+1)
    // base case
    dp[0] = true

    for i := 0; i < len(nums); i++ {
        for j := sum/2; j >= 0; j-- {
            if j - nums[i] >= 0 {
                dp[j] = dp[j] || dp[j-nums[i]]
            }
        }
    }
    return dp[sum/2]
}