"神奇！不用除法，如何算出数组中每个元素'邻居'的乘积？"

一道看似简单却暗藏玄机的题目

给你一个数组 nums，要求返回一个新数组，其中每个位置的值是原数组除自身外所有元素的乘积 。
但有两个苛刻条件：

1️⃣ 禁止使用除法 （不能用总乘积除以当前元素）

2️⃣ 必须在 O(n) 时间复杂度内完成

示例1：

输入: nums = [1,2,3,4]
输出: [24,12,8,6]

示例2：

输入: nums = [-1,1,0,-3,3]
输出: [0,0,9,0,0]

初步思考

最直观的解法可能是先计算所有元素的乘积，然后对于每个元素，用总乘积除以当前元素。但是这种方法有两个问题：

1. 题目明确要求不能使用除法
2. 当数组中有0时，这种方法会失效（除以0是未定义操作）

因此，我们需要寻找一种更聪明的方法。

高效解法：左右乘积列表

算法思路

我们可以利用两个额外的数组 left 和 right 来分别存储每个元素左侧和右侧的乘积：

1. left[i] 表示 nums[i] 左侧所有元素的乘积
2. right[i] 表示 nums[i] 右侧所有元素的乘积
3. 最终结果 answer[i] = left[i] * right[i]

这样，我们就能在不使用除法的情况下得到每个位置除自身外的乘积。

优化空间复杂度

上面的方法需要 O(n) 的额外空间来存储 left 和 right 数组。我们可以进一步优化，只使用输出数组和一个变量来存储临时的乘积：

1. 首先，使用输出数组 res 存储每个元素的左侧乘积
2. 然后，用一个变量 right 从右到左遍历，计算右侧乘积并乘到 res 中

JavaScript实现

var productExceptSelf = function(nums) {
    let res = [];
    let left = 1;
    let right = 1;
    
    // 从左到右遍历，计算左侧乘积
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        res[i] = left;
        left *= nums[i];
    }
    
    // 从右到左遍历，计算右侧乘积并相乘
    for (let j = nums.length - 1; j >= 0; j--) {
        res[j] *= right;
        right *= nums[j];
    }
    
    return res;
};

算法分析

• 时间复杂度：O(n)，我们只进行了两次线性遍历
• 空间复杂度：O(1)（不考虑输出数组的空间），因为我们只使用了常数个额外变量

示例解析

让我们用第一个示例 nums = [1,2,3,4] 来逐步分析算法：

第一次遍历（从左到右）：

• i=0: res0 = 1, left = 1*1 = 1
• i=1: res1 = 1, left = 1*2 = 2
• i=2: res2 = 2, left = 2*3 = 6
• i=3: res3 = 6, left = 6*4 = 24

此时 res = [1, 1, 2, 6]

第二次遍历（从右到左）：

• j=3: res3 = 61 = 6, right = 14 = 4
• j=2: res2 = 24 = 8, right = 43 = 12
• j=1: res1 = 112 = 12, right = 122 = 24
• j=0: res0 = 124 = 24, right = 241 = 24

最终 res = [24, 12, 8, 6]，与示例输出一致。

图示化：

边界情况考虑

1. 数组中有0的情况：

   • 如示例2 nums = [-1,1,0,-3,3]
   • 算法仍然有效，因为我们是分别计算左侧和右侧的乘积，不会出现除以0的问题

2. 数组长度为1的情况：

   • 根据题意，这种情况应该返回 [1]（因为可以看作空乘积为1）
   • 我们的算法也能正确处理这种情况

3. 大数情况：

   • 题目保证结果在32位整数范围内，所以我们不需要考虑溢出问题

为什么这种方法有效？

这种方法的巧妙之处在于它将问题分解为两个部分：

1. 左侧乘积：对于每个元素，计算它左边所有元素的乘积
2. 右侧乘积：对于每个元素，计算它右边所有元素的乘积

然后将这两部分相乘，就得到了除自身外所有元素的乘积。通过两次遍历（一次从左到右，一次从右到左），我们高效地完成了这个计算。

总结

这道题目展示了如何通过巧妙的数组遍历技巧，在不使用除法的情况下高效解决问题。关键在于：

1. 将问题分解为左侧乘积和右侧乘积
2. 利用两次遍历分别计算这两部分
3. 优化空间复杂度，只使用必要的额外空间

掌握这种"分解问题"和"空间优化"的思想，对于解决许多数组相关的问题都非常有帮助。

希望这篇解析能帮助你更好地理解这个问题及其解法！