【高中数学/古典概率】4红2黑六选二，求取出两次都是红球的概率

【问题】

袋子里装4只红球，2只黑球，大小完全相同，抽两次球，每次抽一只，抽出后不再放回，求取出的两次都是红球的概率。

【来源】

数林外传系列之《概率与期望》P20 单埻著 中国科学技术大学出版社

【数学解法】

解法一：首球为红球概率为4/6，次球为红球概率为3/5，总概率为4/6*3/5=2/5

解法二：总选法为六选二=C(6,2),选红球两次的选法=C(4,2),概率为P=C(4,2)/C(6,2)=2/5

评述：解法一好理解，解法二的C(4,2)有点从天而降的意思，不好理解和灵活运用。

【程序解法】

将数组{0,1,2,3,4,5}进行全排列，取出前两个序号到数组{1,1,1,1,0,0}取数求和，和为2的即为选两次红球的方案，最后统计。

【程序代码】

主类：

package test250424;

import java.util.List;

/**
 * 
 */
public class Test250424 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] nums= {1,1,1,1,0,0};
        int[] idxs= {0,1,2,3,4,5};
        Arranger arger = new Arranger(idxs,idxs.length);
        int sum=0;
        int total=0;
        
        for (List<Integer> line : arger.getResults()) {            
            int score=0;
            score+=nums[line.get(0)];
            score+=nums[line.get(1)];
            
            if(score==2) {
                sum++;
            }
            
            total++;
        }
                
        System.out.println("Two Red:"+sum+" Total:"+total+" Probability:"+sum*100/total+"%");
    }
}

辅助类Arranger：

package test250424;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

/**
 * 用于产生排列结果的工具类
 * 从n个元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列。得到所有排列的方案
 */
class Arranger {
    // 保存在内部的对原始元素数组的引用
    private int[] arr;

    // 总计多少元素，此即数组长度
    private final int n;

    // 选多少个
    private final int m;

    // 返回结果
    private List<List<Integer>> results;

    /**
     * 构造函数一
     * 这个构造函数是用于全排列的（n=m=数组长度）
     *
     * @arr 原始元素数组
     */
    public Arranger(int[] arr) {
        this.arr = arr;
        this.n = arr.length;
        this.m = arr.length;

        this.results = new ArrayList<>();
        doArrange(new ArrayList<>());
    }

    /**
     * 构造函数二
     * 这个构造函数是用于部分排列的(m<n=数组长度)
     *
     * @param arr    原始元素数组
     * @param selCnt 选多少个
     */
    public Arranger(int[] arr, int selCnt) {
        this.arr = arr;
        this.n = arr.length;
        this.m = selCnt;
        if (m > n) {
            throw new ArrayIndexOutOfBoundsException("m:" + m + " >n:" + n);
        }

        this.results = new ArrayList<>();
        doArrange(new ArrayList<>());
    }

    /**
     * 使用递归进行全排列，结果放在results中
     *
     * @param initialList 初始链表
     */
    private void doArrange(List<Integer> initialList) {
        List<Integer> innerList = new ArrayList<>(initialList);

        if (m == initialList.size()) {
            results.add(innerList);
        }

        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            if (innerList.contains(arr[i])) {
                continue;
            }

            innerList.add(arr[i]);
            doArrange(innerList);
            innerList.remove(innerList.size() - 1);
        }
    }

    /**
     * 获得结果链表的引用
     *
     * @return
     */
    public List<List<Integer>> getResults() {
        return results;
    }

    // 测试
    public static void main(String[] args) {
        int[] numbers = {1, 2, 3, 4};
        Arranger arranger = new Arranger(numbers);

        System.out.println("四元素全排列示例:");
        int idx = 0;
        for (List<Integer> re : arranger.getResults()) {
            System.out.println(String.format("%02d", ++idx) + "." + re);
        }

        /*Arranger arranger2 = new Arranger(numbers, 2);
        System.out.println("\n四选二排列示例:");
        idx = 0;
        for (List<Integer> re : arranger2.getResults()) {
            System.out.println(String.format("%02d", ++idx) + "." + re);
        }*/
    }
}

【程序输出】

Two Red:288 Total:720 Probability:40%

【结论】

三种方法可以相互印证。

END