ACM入门之【二分】

原理

基本原理：

二分查找（Binary Search）是一个在有序空间中快速定位答案 的经典算法。

它的基本思想是：每次把当前区间"对半"切开，保留可能包含答案的一半，丢弃另一半；重复这个过程，直到区间足够小或者找到答案。
二分的本质: 一个有单调性的搜索空间中寻找满足条件的点。

比如：

有序数组里找元素。

最小化最大值 ，最大化最小值问题。

某个判断条件随着参数变化是单调的（true->false 或 false->true），就可以二分。

简言之： 单调性 + 确定区间收缩方式 → 能二分

二分的常见应用

标准数值二分：在一个升序数组里找一个数，找不到就返回最近的位置。
条件判断二分：定义一个条件 check(x)。check(x) 随着 x 的变化是单调的。二分最小的/最大的符合条件的 x。
浮点数二分：如果是连续数轴上找一个实数，比如找根号、找最优值，就需要浮点二分。
二分答案：有些问题本身没有排序，但答案有单调性。
三分：如果目标函数是单峰的（先增后减或先减后增），可以用三分法找最优点。

什么时候能用二分？

条件	解释
1. 有序数据结构	比如升序数组，按位置二分。
2. 单调性质	比如随着某个参数变化，check结果单调变化。
3. 答案有界且单调	比如最小化最大值、最大化最小值。
4. 函数极值问题	如果是单峰，可以用三分。

板子

整数二分的板子代码：

cpp 复制代码

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;//r=mid不需要加1
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;  //其实就是l=mid 这里加1
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

浮点数二分的板子代码：

cpp 复制代码

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

习题

标准数值二分 789. 数的范围

标准数值二分解方程

浮点数二分 790. 数的三次方根