tarjan缩点+强联通分量

【模板】缩点https://www.luogu.com.cn/problem/P3387

首先我们要理解这道题为什么要用缩点

题目说的是有向图，如果无环的话就可以用DP来解决了

由于可以走重复的点，所以一个环上的点可以看成是一个点，它的点权就等于该环上所有点的点权之和，非常符合缩点的作用，所以就可以缩成一个有向无环图，再用DP解决

强联通分量

缩点实际上就是找环加DP，找环可以用强联通分量来解决

具体过程是这样的：

在遇到环之前一切正常

但当我们回溯到一个点的时候，如果它的low值等于它的dfn值，说明它已经无法与除它的子节点之外的点形成环了，所以我们就遍历一下之前走过的点，直到遍历到该节点，此时遍历到的点就是一个环

强联通分量代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,dfn[110000],low[110000],stk[110000],belong[110000],top,tot,cnt;
vector<int>a[110000],ans[110000];
bool vik[110000],instk[110000];
void tarjan(int x)
{
	dfn[x]=low[x]=++tot;
	stk[++top]=x;
	instk[x]=1;
	for(int i=0;i<a[x].size();i++)
	{
		if(!dfn[a[x][i]])
		{
			tarjan(a[x][i]);
			low[x]=min(low[x],low[a[x][i]]);//正常tarjan
		}
		else if(instk[a[x][i]]) low[x]=min(low[x],dfn[a[x][i]]);
	}
	if(low[x]==dfn[x])//找环
	{
		int now;
		cnt++;
		do
		{
			now=stk[top--];
			ans[cnt].push_back(now);
			instk[now]=0;
			belong[now]=cnt;
		}
		while(now!=x);
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if(x==y) continue;
		a[x].push_back(y);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
	for(int i=1;i<=cnt;i++) sort(ans[i].begin(),ans[i].end());
	printf("%d\n",cnt);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(vik[i]) continue;
		int x=belong[i];
		for(int j=0;j<ans[x].size();vik[ans[x][j++]]=1) printf("%d ",ans[x][j]);
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

缩点：

找到环之后，我们就可以将其缩成一个点，然后用拓扑跑DP就可以了，十分简单

建边：

cpp 复制代码

for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<a[i].size();j++) 
		{
			if(belong[i]!=belong[a[i][j]])//如果是不在一个环上
			{
				e[belong[i]].push_back(belong[a[i][j]]);//连一条边
			}
		}
		b[belong[i]]+=c[i];
	}

完整版：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,b[210000],c[210000],dfn[210000],low[210000];
int stk[210000],belong[210000],rd[210000],dp[210000],top,cnt,tot;
vector<int>a[210000],e[210000];
bool instk[210000];
void tarjan(int x)
{
	low[x]=dfn[x]=++tot;
	stk[++top]=x;
	instk[x]=1;
	for(int i=0;i<a[x].size();i++)
	{
		if(!dfn[a[x][i]])
		{
			tarjan(a[x][i]);
			low[x]=min(low[x],low[a[x][i]]);
		}
		else if(instk[a[x][i]]) low[x]=min(low[x],dfn[a[x][i]]);
	}
	if(low[x]==dfn[x])
	{
		cnt++;
		int now;
		do
		{
			now=stk[top--];
			belong[now]=cnt;
			instk[now]=0;
		}
		while(now!=x);
	}
}
void topo()
{
	queue<int>q;
	while(!q.empty()) q.pop();
	for(int i=1;i<=cnt;i++) if(!rd[i]) q.push(i);
	for(int i=1;i<=cnt;i++) dp[i]=b[i];
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front();q.pop();
		for(int i=0;i<e[x].size();i++)
		{
			dp[e[x][i]]=max(dp[e[x][i]],dp[x]+b[e[x][i]]);
			if(--rd[e[x][i]]==0) q.push(e[x][i]);
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&c[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if(x==y) continue;
		a[x].push_back(y);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<a[i].size();j++) 
		{
			if(belong[i]!=belong[a[i][j]])
			{
				e[belong[i]].push_back(belong[a[i][j]]);
				rd[belong[a[i][j]]]++;
			}
		}
		b[belong[i]]+=c[i];
	}
	topo();
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=cnt;i++) ans=max(ans,dp[i]);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}