补题（ Convolution， 二维卷积求输出矩阵元素和最大值）

来源：https://codeforces.com/gym/105231/problem/H

题目描述：

一、题目分析
本题涉及深度学习中的二维卷积操作。给定一个n×m的二维输入矩阵I和一个k×l的核矩阵K ，通过特定公式计算得到(n - k + 1)×(m - l + 1)的输出矩阵O ，要求在核矩阵K元素只能为 - 1、0、1 的条件下，找出输出矩阵O所有元素之和的最大值。
二、解题思路
前缀和优化
首先对输入矩阵I计算二维前缀和。对于矩阵I ，设bij表示从(1, 1)到(i, j)的子矩阵元素之和。计算方式为bij=bij - 1+bi - 1j-bi - 1j - 1+aij 。这样做的好处是可以在O(1)时间内获取任意子矩阵的元素和。
计算卷积结果
对于输出矩阵O中的每个元素O(p,q) ，根据公式 ，由于K元素为 - 1、0、1 ，我们可以遍历所有可能的核矩阵组合（实际不需要真的枚举矩阵，而是通过分析元素贡献 ）。
利用前缀和计算子矩阵和，例如对于核矩阵覆盖的子矩阵，通过前缀和相减的方式得到对应子矩阵元素和。如代码中t = bij - bi - t1j - bij - t2 + bi - t1j - t2 ，这里t1 = k ，t2 = l 。
求最大值
遍历所有可能的核矩阵取值情况（本质是考虑每个位置对结果的正负贡献 ），计算出不同情况下输出矩阵O元素之和，取其中的最大值。
三、代码实现（C++）

 

  
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e3 + 10;
int a[N][N], b[N][N];
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m, k, l;
    cin >> n >> m >> k >> l;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            cin >> a[i][j];
            b[i][j] = b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i - 1][j - 1] + a[i][j];
        }
    }
    int sum = 0;
    int t1 = n - k + 1, t2 = m - l + 1;
    for (int i = t1; i <= n; i++) {
        for (int j = t2; j <= m; j++) {
            int t = b[i][j] - b[i - t1][j] - b[i][j - t2] + b[i - t1][j - t2];
            sum += abs(t);
        }
    }
    cout << sum;
    return 0;
}

四、复杂度分析
时间复杂度：计算前缀和部分是两层嵌套循环，时间复杂度为O(n×m) ；后续计算输出矩阵元素和部分也是两层嵌套循环，时间复杂度为O((n - k + 1)×(m - l + 1)) ，总体时间复杂度为O(n×m) ，在题目给定的数据规模下可以接受。
空间复杂度：使用了两个二维数组a和b存储矩阵数据和前缀和，空间复杂度为O(n×m) 。