排序算法——桶排序

一、介绍

前述的几种排序算法都属于"基于比较的排序算法"，它们通过比较元素间的大小来实现排序。此类排序算法的时间复杂度无法超越𝑂(𝑛log𝑛)。接下来，我们将探讨几种"非比较排序算法"，它们的时间复杂度可以达到线性阶。

**「桶排序bucketsort」**是分治策略的一个典型应用。它通过设置一些具有大小顺序的桶，每个桶对应一个数据范围，将数据平均分配到各个桶中；然后，在每个桶内部分别执行排序；最终按照桶的顺序将所有数据合并。

二、算法流程

考虑一个长度为𝑛的数组，元素是范围[0,1)的浮点数。桶排序的流程如下所示。

1. 初始化𝑘个桶，将𝑛个元素分配到𝑘个桶中。

2. 对每个桶分别执行排序（本文采用编程语言的内置排序函数）。

3. 按照桶的从小到大的顺序，合并结果。

三、完整代码

def bucket_sort(nums: list[float]):
    """桶排序"""
    # 初始化 k = n/2 个桶，预期向每个桶分配 2 个元素
    k = len(nums) // 2
    buckets = [[] for _ in range(k)]
    # 1. 将数组元素分配到各个桶中
    for num in nums:
        # 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
        i = int(num * k)
        # 将 num 添加进桶 i
        buckets[i].append(num)
    # 2. 对各个桶执行排序
    for bucket in buckets:
        # 使用内置排序函数，也可以替换成其他排序算法
        bucket.sort()
    # 3. 遍历桶合并结果
    i = 0
    for bucket in buckets:
        for num in bucket:
            nums[i] = num
            i += 1


if __name__ == "__main__":
    # 设输入数据为浮点数，范围为 [0, 1)
    nums = [0.49, 0.96, 0.82, 0.09, 0.57, 0.43, 0.91, 0.75, 0.15, 0.37]
    bucket_sort(nums)
    print("桶排序完成后 nums =", nums)

四、算法特性

桶排序适用于处理体量很大的数据 。例如，输入数据包含100万个元素，由于空间限制，系统内存无法一次性加载所有数据。此时，可以将数据分成1000个桶，然后分别对每个桶进行排序，最后将结果合并。

‧ 时间复杂度𝑂(𝑛+𝑘)：假设元素在各个桶内平均分布，那么每个桶内的元素数量为𝑛/𝑘。假设排序单

个桶使用𝑂(𝑛/𝑘log(𝑛/𝑘))时间，则排序所有桶使用𝑂(𝑛log(𝑛/𝑘))时间。当桶数量𝑘比较大时，时间复杂度则趋向于𝑂(𝑛) 。合并结果时需要遍历所有桶和元素，花费𝑂(𝑛+𝑘)时间。

‧ 自适应排序 ：在最坏情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序该桶使用𝑂()时间。

‧ 空间复杂度𝑂(𝑛+𝑘)、非原地排序 ：需要借助𝑘个桶和总共𝑛个元素的额外空间。

‧ 桶排序是否稳定取决于排序桶内元素的算法是否稳定。

五、如何实现平均分配

桶排序的时间复杂度理论上可以达到𝑂(𝑛)，关键在于将元素均匀分配到各个桶中，因为实际数据往往不是均匀分布的。例如，我们想要将淘宝上的所有商品按价格范围平均分配到10个桶中，但商品价格分布不均，低于100元的非常多，高于1000元的非常少。若将价格区间平均划分为10份，各个桶中的商品数量差距会非常大。

为实现平均分配，我们可以先设定一个大致的分界线，将数据粗略地分到3个桶中。分配完毕后，再将商品较多的桶继续划分为3个桶，直至所有桶中的元素数量大致相等。

如图所示，这种方法本质上是创建一个递归树，目标是让叶节点的值尽可能平均。当然，不一定要每轮将数据划分为3个桶，具体划分方式可根据数据特点灵活选择。

如果我们提前知道商品价格的概率分布，则可以根据数据概率分布设置每个桶的价格分界线。值得注意的是，数据分布并不一定需要特意统计，也可以根据数据特点采用某种概率模型进行近似。

如下图所示，我们假设商品价格服从正态分布，这样就可以合理地设定价格区间，从而将商品平均分配到各个桶中。