ST表(Sparse Table)
可重复贡献问题
- x o p t x = x x \ opt\ x = x x opt x=x ：如果两个区间重复计算某些元素时，对重复元素 进行 o p t opt opt操作没有任何影响
理解
ST表的思想是倍增，每一次处理上一次处理的两倍的元素 ，倍增的方式有重叠部分，如果重叠部分可重复贡献，则倍增的思路是正确的。
- 长度：
int len=log2(n),向下取整，避免出现无效元素参与计算 - 构造时的递推公式：
amax[j][m] = max(amax[j - 1][m], amax[j - 1][m + (1 << j - 1)])，例子：第3层第1个元素，由第2层第1，2，3个元素累积得到，其中第二个元素出现重复。 - query：
max(amax[len][l], amax[len][r - (1 << len) + 1])，首先查询当前层l处的元素，然后考虑当前层代表了 2 l e n 2^{len} 2len个元素，由第一层元素反推第len层元素。
模板
- init()操作： O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)复杂度
cpp
int len = log2(n);
for (int j = 1; j <= len; j++) {
for (int m = 1; m <= n - (1 << j) + 1; m++) {
amax[j][m] = max(amax[j - 1][m], amax[j - 1][m + (1 << j - 1)]);
amin[j][m] = min(amin[j - 1][m], amin[j - 1][m + (1 << j - 1)]);
}
}- query()操作: O ( 1 ) O(1) O(1)，仅仅支持静态查询，不支持任意修改方式
cpp
int query(int l,int r,int flag) {//flag==1 max
int len = log2(r - l + 1);
if (flag)return max(amax[len][l], amax[len][r - (1 << len) + 1]);
return min(amax[len][l], amax[len][r - (1 << len) + 1]);
}- 优化：log2操作比较费时，所以可以采用dp方式优化该运算。
cpp
lg[0]=-1;
for(int i=1;i<=n;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;