排序算法——计数排序

一、介绍

**「计数排序countingsort」**通过统计元素数量来实现排序，通常应用于整数数组。

先来看一个简单的例子。给定一个长度为𝑛的数组 nums ，其中的元素都是"非负整数"，计数排序的整体流程如下图所示。

遍历数组，找出数组中的最大数字，记为𝑚，然后创建一个长度为𝑚+1的辅助数组

借助 counter 统计 nums 中各数字的出现次数，其中统计counter $num$ 对应数字num很简单，只需遍历 nums（设当前数字为num），每轮将 counter $num$ 增加 1 即可。

由于 counter 的各个索引天然有序，因此相当于所有数字已经被排序好了。接下来，我们遍历 counter，根据各数字的出现次数，将它们按从小到大的顺序填入 nums 即可。

二、代码实现

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def counting_sort_naive(nums: list[int]):
    """计数排序"""
    # 简单实现，无法用于排序对象
    # 1. 统计数组最大元素 m
    m = max(nums)
    # 2. 统计各数字的出现次数
    # counter[num] 代表 num 的出现次数
    counter = [0] * (m + 1)
    for num in nums:
        counter[num] += 1
    # 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    i = 0
    for num in range(m + 1):
        for _ in range(counter[num]):
            nums[i] = num
            i += 1

三、优化

如果输入数据是对象，上述步骤 3. 就失效了。假设输入数据是商品对象，我们想要按照商品价格（类的成员变量）对商品进行排序，而上述算法只能给出价格的排序结果。那么如何才能得到原数据的排序结果呢？我们首先计算 counter 的"前缀和"。顾名思义，索引i处的前缀和 prefix $i$ 等于数组前i个元素之和：

前缀和具有明确的意义，prefix $num$ - 1 代表元素 num 在结果数组 res 中最后一次出现的索引。这个信息非常关键，因为它告诉我们各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来，我们倒序遍历原数组nums的每个元素num，在每轮迭代中执行以下两步。

将num填入数组 res 的索引prefix $num$ - 1 处。

2.令前缀和prefix $num$ 减小 1 ，从而得到下次放置 num 的索引。

遍历完成后，数组res中就是排序好的结果，最后使用 res 覆盖原数组nums即可。

代码实现：

复制代码

def counting_sort(nums: list[int]):
    """计数排序"""
    # 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
    # 1. 统计数组最大元素 m
    m = max(nums)
    # 2. 统计各数字的出现次数
    # counter[num] 代表 num 的出现次数
    counter = [0] * (m + 1)
    for num in nums:
        counter[num] += 1
    # 3. 求 counter 的前缀和，将"出现次数"转换为"尾索引"
    # 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for i in range(m):
        counter[i + 1] += counter[i]
    # 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    # 初始化数组 res 用于记录结果
    n = len(nums)
    res = [0] * n
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        num = nums[i]
        res[counter[num] - 1] = num  # 将 num 放置到对应索引处
        counter[num] -= 1  # 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
    # 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    for i in range(n):
        nums[i] = res[i]

nums1 = [1, 0, 1, 2, 0, 4, 0, 2, 2, 4]
    counting_sort(nums1)
    print(f"计数排序完成后 nums1 = {nums1}")

四、算法特性

‧ 时间复杂度𝑂(𝑛+𝑚)：涉及遍历 nums 和遍历 counter ，都使用线性时间。一般情况下𝑛≫𝑚，时间复杂度趋于𝑂(𝑛)。

‧ 空间复杂度𝑂(𝑛+𝑚)、非原地排序：借助了长度分别为𝑛和𝑚的数组 counter 。

‧ 稳定排序：由于向res中填充元素的顺序是"从右向左"的，因此倒序遍历 res 和 nums 可以避免改变相等元素之间的相对位置，从而实现稳定排序。实际上，正序遍历 nums 也可以得到正确的排序结果，但结果是非稳定的。

五、局限性

1.计数排序只适用于非负整数 。若想要将其用于其他类型的数据，需要确保这些数据可以被转换为非负整数，并且在转换过程中不能改变各个元素之间的相对大小关系。例如，对于包含负数的整数数组，可以先给所有数字加上一个常数，将全部数字转化为正数，排序完成后再转换回去即可。 2.计数排序适用于数据量大但数据范围较小的情况。比如，在上述示例中𝑚不能太大，否则会占用过多空间。而当𝑛≪𝑚时，计数排序使用𝑂(𝑚)时间，可能比𝑂(𝑛log𝑛)的排序算法还要慢。