奇怪的公式

背景导入

在剑桥大学，瞥了一眼下面这个公式，我眩晕了，庆幸自己没学数学专业。
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = − 1 12 1+2+3+4+\dots = -\frac{1}{12} 1+2+3+4+⋯=−121

一天，剑桥大学教授哥德弗雷·哈代收到一封来自印度的信。写信人叫拉马努金，是一位26岁的普通会计，没受过高等教育，爱好数学，随信附上了他的研究成果：120个奇怪的公式。所有公式都没有推导过程，直接给出结果。比如上面这个公式，就是其中之一。

所有的正数相加，怎么会得出一个负数，而且还是一个负的分数呢？

哈代起初并没有太当回事，他将信丢到一边，没有理睬。这件事就这么过去了。可那些奇怪的公式折磨起哈代来了。正因为奇怪，他记住了一些，比如上面提到的那个。写信的人是疯子吗？显然不是，至少从书信中看不出这种迹象。他是开玩笑吗？不。一个印度小伙子和万里之外的大学教授开哪门子玩笑。这不是开玩笑，他是认真的。

如果那些公式成立呢？哈代想，那么，拉马努金毫无疑问是一位奇才。如果它们是杜撰的，拉马努金堪称诈骗大师。

仔细检查后，哈代发现这120个公式中，有些早已是著名的数学公式；有些只是猜想，如果能够证明它们成立，会对数学研究有很大的推动作用；还有一些他根本没见过，比如上面提到的所有正数相加等于负分数这个公式。

哈代给拉马努金回信，希望他能证明自己写下的公式。拉马努金回信拒绝了哈代的要求，他说他害怕被哈代笑话，况且即使是哈代，也无法跟上他的证明思路。

哈代再次去信，邀请拉马努金来英国，承诺给他提供展示天赋的机会。拉马努金又拒绝了。他说他信仰的宗教不允许教徒漂洋过海。

哈代说服剑桥大学为拉马努金提供奖学金，并再次向他发出邀请。拉马努金终于动摇了。一方面，他的父母转变观念，支持他去英国；另一方面，他信仰的女神娜玛吉利在梦中告诉他，不必理会反对出国的禁令。

拉马努金到英国后，哈代才知道他对于什么是推导毫无概念。他说他的公式皆是梦中所得。但哈代认定拉马努金不是一般人，而是数学史上最伟大的人物那种级别的天才。

在哈代的坚持下，随后5年，拉马努金待在剑桥大学，发表了20多篇论文，并成为英国皇家学会会员。

拉马努金生病，哈代前去探望，告诉他自己乘坐的出租车有一个无趣的车牌号------1729。

"无趣吗？"拉马努金说，"其实这个数字挺有意思的，它是可以用两种形式表示两个立方数之和的最小数字。"

"10的立方数与9的立方数之和，12的立方数和1的立方数之和。两种形式表示两个立方数之和，1729是最小值。"

"是娜玛吉利女神告诉你的吗？"哈代说。

两个人哈哈大笑。

回到前面提到的那个正数相加等于负分数的公式，据说其成立的前提是要求时空有26个维度。天啊，对我来说，理解一维、二维、三维是自然之事，理解四维有些勉强，理解五维就很难......哦，26维，打死我也想象不出来。

（摘自河南文艺出版社《献给爱伦·坡的玫瑰》一书）

好的，我现在要尝试理解如何证明自然数的和 1 + 2 + 3 + 4 + ... 1+2+3+4+... 1+2+3+4+...等于 − 1 / 12 -1/12 −1/12。首先，我们知道在常规的数学分析中，这个级数是发散的，也就是说它没有有限的求和结果。不过，我听说过这个结果在物理学的一些领域，比如弦理论或量子场论中有应用，尤其是通过解析延拓或者拉马努金求和法得到这个值。但具体怎么证明呢？我需要一步步来理清楚。

一、传统级数论的视角：级数发散

在经典数学中，级数 S = ∑ n = 1 ∞ n S = \sum_{n=1}^\infty n S=∑n=1∞n 是发散级数 ，其部分和 S n = n ( n + 1 ) 2 S_n = \frac{n(n+1)}{2} Sn=2n(n+1) 随 n → ∞ n \to \infty n→∞ 趋向无穷大。其发散性可通过以下判据严格证明：

柯西收敛准则失效 ：对任意正整数 N N N，存在 m > N m > N m>N 使得 ∣ S m − S N ∣ > 1 |S_m - S_N| > 1 ∣Sm−SN∣>1。
比较判别法 ：因通项 a n = n a_n = n an=n 不趋于零，级数必然发散。

结论：在传统收敛定义下， S S S 无有限和。

二、解析延拓与黎曼ζ函数

1. ζ函数的原始定义

黎曼ζ函数最初定义为复平面上的级数：
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s ( Re ( s ) > 1 ) . \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \quad (\text{Re}(s) > 1). ζ(s)=n=1∑∞ns1(Re(s)>1).

当 s = − 1 s = -1 s=−1 时，形式上对应 1 + 2 + 3 + ... 1 + 2 + 3 + \dots 1+2+3+...，但此级数在 Re ( s ) ≤ 1 \text{Re}(s) \leq 1 Re(s)≤1 时不收敛。

2. 解析延拓的原理

解析延拓是一种将函数的定义域扩展到更大区域的数学技术，要求延拓后的函数在原有区域内与原始定义一致，且在新区域中保持解析性（全纯性）。对 ζ ζ ζ函数而言，其延拓通过以下方式实现：

积分表示 ：利用 Γ Γ Γ函数与 ζ ζ ζ函数的关系式：
ζ ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x ( Re ( s ) > 1 ) . \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x - 1} \, dx \quad (\text{Re}(s) > 1). ζ(s)=Γ(s)1∫0∞ex−1xs−1dx(Re(s)>1).
该积分在更广区域收敛。
函数方程 ：通过对称关系将ζ函数延拓至整个复平面（除 s = 1 s=1 s=1 外）：
ζ ( s ) = 2 s π s − 1 sin ⁡ ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) . \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s). ζ(s)=2sπs−1sin(2πs)Γ(1−s)ζ(1−s).

3. 计算 ζ ( − 1 ) \zeta(-1) ζ(−1)

将 s = − 1 s = -1 s=−1 代入函数方程：
ζ ( − 1 ) = 2 − 1 π − 2 sin ⁡ ( − π 2 ) Γ ( 2 ) ζ ( 2 ) . \zeta(-1) = 2^{-1} \pi^{-2} \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \Gamma(2) \zeta(2). ζ(−1)=2−1π−2sin(−2π)Γ(2)ζ(2).

已知 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 \Gamma(2) = 1! = 1 Γ(2)=1!=1， ζ ( 2 ) = π 2 6 \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} ζ(2)=6π2，且 sin ⁡ ( − π / 2 ) = − 1 \sin(-\pi/2) = -1 sin(−π/2)=−1，代入得：
ζ ( − 1 ) = 1 2 ⋅ 1 π 2 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 1 ⋅ π 2 6 = − 1 12 . \zeta(-1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\pi^2} \cdot (-1) \cdot 1 \cdot \frac{\pi^2}{6} = -\frac{1}{12}. ζ(−1)=21⋅π21⋅(−1)⋅1⋅6π2=−121.

数学意义 ：解析延拓后的 ζ ( − 1 ) \zeta(-1) ζ(−1) 是广义数学对象的值，而非传统级数和。

三、发散级数的广义求和法

1. 拉马努金求和法

拉马努金提出一种基于解析延拓的发散级数求和方法，核心思想是将级数与ζ函数关联。例如，对自然数级数：
∑ n = 1 ∞ n = R ζ ( − 1 ) = − 1 12 , \sum_{n=1}^\infty n \overset{\text{R}}{=} \zeta(-1) = -\frac{1}{12}, n=1∑∞n=Rζ(−1)=−121,

其中" = R \overset{\text{R}}{=} =R"表示拉马努金和。

2. 形式化代数推导

以下步骤展示一种启发式操作（非严格证明）：

定义辅助级数 ：
S 1 = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = C 1 2 ( 切萨罗和 ) , S 2 = 1 − 2 + 3 − 4 + ... . \begin{align*} S_1 &= 1 - 1 + 1 - 1 + \dots \overset{\text{C}}{=} \frac{1}{2} \quad (\text{切萨罗和}), \\ S_2 &= 1 - 2 + 3 - 4 + \dots. \end{align*} S1S2=1−1+1−1+...=C21(切萨罗和),=1−2+3−4+....
计算 S 2 S_2 S2 ：
将 S 2 S_2 S2 与其平移后的级数相加：
S 2 + S 2 = 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ = S 1 ⟹ S 2 = 1 4 . S_2 + S_2 = 1 - 1 + 1 - 1 + \dots = S_1 \implies S_2 = \frac{1}{4}. S2+S2=1−1+1−1+⋯=S1⟹S2=41.
关联 S S S 与 S 2 S_2 S2 ：
S − S 2 = 4 S ⟹ S = − 1 12 . S - S_2 = 4S \implies S = -\frac{1}{12}. S−S2=4S⟹S=−121.

注意：此推导依赖对发散级数的线性操作，需在特定求和法下才成立。

四、物理应用与数学哲学

1. 卡西米尔效应

在量子场论中，两金属板间的真空能量计算涉及发散级数：
E ∝ ∑ n = 1 ∞ n ⇒ E ∝ − 1 12 . E \propto \sum_{n=1}^\infty n \quad \Rightarrow \quad E \propto -\frac{1}{12}. E∝n=1∑∞n⇒E∝−121.

实验观测结果与此相符，表明广义求和的物理有效性。

2. 弦理论

在弦的维度计算中，维数公式需保证共形对称性，结果依赖 ζ ( − 1 ) \zeta(-1) ζ(−1) 的值。

3. 数学哲学

解析延拓与广义求和揭示：

数学对象的意义依赖其所在框架。
"和"的定义可扩展，但需明确上下文。

五、总结与公式

传统级数和 ： ∑ n = 1 ∞ n \sum_{n=1}^\infty n ∑n=1∞n 发散。
解析延拓值 ： ζ ( − 1 ) = − 1 12 \zeta(-1) = -\frac{1}{12} ζ(−1)=−121。
物理赋值 ： ∑ n = 1 ∞ n = reg − 1 12 \sum_{n=1}^\infty n \overset{\text{reg}}{=} -\frac{1}{12} ∑n=1∞n=reg−121（正则化结果）。

− 1 12 \boxed{-\frac{1}{12}} −121

The statement that 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = − 1 12 1 + 2 + 3 + 4 + \dots = -\frac{1}{12} 1+2+3+4+⋯=−121arises from advanced mathematical concepts beyond traditional summation. Here's a concise explanation:

Traditional Perspective :

In standard calculus, the series 1 + 2 + 3 + ... 1 + 2 + 3 + \dots 1+2+3+... diverges to infinity. There is no finite sum under conventional definitions.
Riemann Zeta Function :

The Riemann zeta function, ζ ( s ) \zeta(s) ζ(s), is initially defined as ∑ n = 1 ∞ 1 n s \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} ∑n=1∞ns1 for Re ( s ) > 1 \text{Re}(s) > 1 Re(s)>1. Through analytic continuation , it can be extended to other values of s s s. For s = − 1 s = -1 s=−1:
ζ ( − 1 ) = − 1 12 . \zeta(-1) = -\frac{1}{12}. ζ(−1)=−121.

This value is assigned via the functional equation of the zeta function, not by summing the divergent series directly.
Summation Methods :

Techniques like Ramanujan summation or zeta function regularization assign finite values to divergent series. These methods are not equivalent to classical convergence but are consistent within their frameworks. For example:
- Manipulating divergent series (e.g., subtracting shifted versions) yields − 1 12 -\frac{1}{12} −121 as a formal result.
- Such methods are used in theoretical physics (e.g., Casimir effect, string theory) to handle infinities.
Key Takeaway :

The equality 1 + 2 + 3 + ⋯ = − 1 12 1 + 2 + 3 + \dots = -\frac{1}{12} 1+2+3+⋯=−121 is context-dependent. It reflects a generalized interpretation of summation rather than literal convergence. In applications, this value helps extract meaningful results from otherwise divergent expressions.

Final Answer :

In the context of analytic continuation and specialized summation methods, the series is assigned the value − 1 12 \boxed{-\frac{1}{12}} −121. Traditional summation still diverges.