随机响应（Randomized Response）机制
✅ 回答核心：
p = 1 1 + e ε 才是「翻转概率」 \boxed{p = \frac{1}{1 + e^{\varepsilon}}} \quad \text{才是「翻转概率」} p=1+eε1才是「翻转概率」
而：
q = e ε 1 + e ε 是「保留真实值」的概率 \boxed{q = \frac{e^{\varepsilon}}{1 + e^{\varepsilon}}} \quad \text{是「保留真实值」的概率} q=1+eεeε是「保留真实值」的概率
✅ 为什么 p 才是翻转概率？
随机响应机制：用于二元隐私（0 或 1）
给定真实值 x ∈ {0,1}，你不直接返回 x，而是使用以下方式：
- 以概率 q = e ε 1 + e ε q = \frac{e^\varepsilon}{1 + e^\varepsilon} q=1+eεeε 保留
x- 以概率 p = 1 1 + e ε p = \frac{1}{1 + e^\varepsilon} p=1+eε1 返回
1 - x（翻转）
公式来源（源自 Local Differential Privacy 的 Binary Randomized Response）：
| 隐私预算 ε | 输出 1 的概率（如果 x=1） | 输出 1 的概率（如果 x=0） |
|---|---|---|
| ε = ∞ | 1（永远保留） | 0（永远不翻转） |
| ε = 0 | 0.5（完全随机） | 0.5（完全随机） |
这满足 ε-LDP 要求的最小扰动机制。
✅ 举个例子：
假设真实值为 1，ε = 1：
- q = e 1 1 + e 1 ≈ 0.731 q = \frac{e^1}{1 + e^1} ≈ 0.731 q=1+e1e1≈0.731 → 有 73.1% 概率返回 1（保留真实值）
- p = 1 1 + e 1 ≈ 0.269 p = \frac{1}{1 + e^1} ≈ 0.269 p=1+e11≈0.269 → 有 26.9% 概率返回 0（翻转）
所以 p 是翻转概率，你撒谎的概率！
✅ 总结对比：
| 名称 | 公式 | 含义 |
|---|---|---|
| 翻转概率 | 1 1 + e ε \boxed{\frac{1}{1 + e^\varepsilon}} 1+eε1 | "撒谎"的概率 |
| 保留真实值的概率 | e ε 1 + e ε \frac{e^\varepsilon}{1 + e^\varepsilon} 1+eεeε | 说实话的概率 |
| 总和 | 两者之和为 1 | 分别处理真实值/扰动 |
✅ 一句话总结：
p = 1 / (1 + exp(ε))是你翻转真实值（加噪声）的概率 ------ 所以它才叫 翻转概率。
🧠 代码1：
python
def matrix_randomized_response(x, eps):
x = x.to(torch.bool)
em = math.exp(eps)
flip_prob = 1.0 / (em + 1) # 翻转概率
p = torch.full_like(x, 1 - flip_prob, dtype=torch.float32) # 保留概率
keep_mask = torch.bernoulli(p).to(torch.bool)
x_noised = (~(x ^ keep_mask)).to(torch.float)
return x_noised我们来逐行详细解读 这段 matrix_randomized_response 函数，重点也会解释提到的核心扰动表达式：
✅ 目标：
这个函数实现 Binary Randomized Response (BRR) ：对布尔矩阵 x 进行局部差分隐私（LDP）扰动，即：
对于每个元素：
以概率 e ε 1 + e ε \frac{e^\varepsilon}{1 + e^\varepsilon} 1+eεeε 保留原值，
以概率 1 1 + e ε \frac{1}{1 + e^\varepsilon} 1+eε1 翻转（扰动）它
🔍 逐行解释：
①
python
x = x.to(torch.bool)- 把输入
x强制转为布尔型（0/1） - 假设原始
x是邻接矩阵或 one-hot 标签
②
python
em = math.exp(eps)
flip_prob = 1.0 / (em + 1)- 计算 e ε e^\varepsilon eε，这是 LDP 中用于设定隐私保护强度的值
- 计算翻转概率：
flip_prob = 1 1 + e ε \text{flip\_prob} = \frac{1}{1 + e^\varepsilon} flip_prob=1+eε1
③
python
p = torch.full_like(x, 1 - flip_prob, dtype=torch.float32)- 构造与
x同形状的张量，每个值为「保留原值的概率」 ：
1 − flip_prob = e ε 1 + e ε 1 - \text{flip\_prob} = \frac{e^\varepsilon}{1 + e^\varepsilon} 1−flip_prob=1+eεeε
④
python
keep_mask = torch.bernoulli(p).to(torch.bool)-
对
p进行伯努利采样，得到一个布尔掩码：True表示保留原值False表示需要翻转
⑤
✅ 🔍 解读核心扰动表达式：
python
x_noised = (~(x ^ keep_mask)).to(torch.float)这行做的是：
✴️ 布尔异或（XOR）：
-
x ^ keep_mask：- 若
keep_mask=True（保留）：x ^ True = not x❌ - 若
keep_mask=False（翻转）：x ^ False = x❌
所以直接x ^ keep_mask会反了！
- 若
✴️ 再加一个 ~（取反）修正逻辑：
~(x ^ keep_mask)恰好实现：
x |
keep_mask |
x ^ keep_mask |
~(x ^ keep_mask) |
结果解释 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | True | 1 | 0 | 保留 0 ✅ |
| 1 | True | 0 | 1 | 保留 1 ✅ |
| 0 | False | 0 | 1 | 翻转成 1 ✅ |
| 1 | False | 1 | 0 | 翻转成 0 ✅ |
✅ .to(torch.float)：
- 最后把布尔张量转为浮点数张量（0.0 / 1.0），用于模型继续计算
✅ 最终效果：
这段代码实现的是对二值矩阵 x 中的每个值：
- 以概率 e ε 1 + e ε \frac{e^\varepsilon}{1 + e^\varepsilon} 1+eεeε 保留
- 以概率 1 1 + e ε \frac{1}{1 + e^\varepsilon} 1+eε1 翻转（扰动）
这是 Binary Randomized Response 的标准实现，适用于差分隐私保护场景。
🧠 代码2：
python
def rr_adj():
p = 1.0/(1.0+math.exp(self.eps_a))
res = ((adj + torch.bernoulli(torch.full((n, n), p)).to(device)) % 2).float()
res.fill_diagonal_(0)
return res🔧 函数定义：
① 计算扰动概率：
python
p = 1.0 / (1.0 + math.exp(self.eps_a))self.eps_a是图结构扰动的隐私预算（epsilon）- 公式来自 Binary Randomized Response
- p = 1 1 + e ε p = \frac{1}{1 + e^{\varepsilon}} p=1+eε1 是"翻转边"的概率（即扰动概率）
② 生成随机掩码并执行扰动：
python
res = ((adj + torch.bernoulli(torch.full((n, n), p)).to(device)) % 2).float()-
torch.full((n, n), p)：创建一个全为p的二维张量，大小为 n × n n \times n n×n，和邻接矩阵adj一样大 -
torch.bernoulli(...)：对每个元素独立进行伯努利采样（值为 1 的概率为p，表示翻转） -
adj + ...：相当于原始邻接矩阵加上"翻转掩码" -
% 2：实现XOR（异或），即：- 0 + 1 = 1 （加边）
- 1 + 1 = 0 （删边）
- 0 + 0 = 0 （保持原样）
-
.float()：把最终的布尔（0/1）结果转成浮点张量
🔁 最终效果：以概率 p 对每个边进行是否存在的翻转
③ 去除对角线（防止自环）：
python
res.fill_diagonal_(0)- 强制将所有的对角线元素（即 self-loop）设为 0，防止扰动产生自环
✅ 总结一下逻辑：
这个函数 rr_adj() 实现的是：
对输入图的邻接矩阵
adj：
- 对每一条边（包括 0）以概率 1 1 + e ε \frac{1}{1 + e^{\varepsilon}} 1+eε1 进行翻转（1→0，0→1）
- 对角线（self-loops）始终设为 0
📌 关键点理解：
| 步骤 | 解释 |
|---|---|
torch.bernoulli(p) |
决定是否翻转 |
% 2 |
实现 XOR 翻转 |
fill_diagonal_(0) |
保证图中没有自环 |
eps_a 越大 |
翻转概率越小，扰动越少，隐私越弱 |
eps_a = 0 |
翻转概率 = 0.5，最随机，最大隐私保护 |
在这个上下文中：% 2 确实等价于 XOR（异或）操作，当我们处理的是布尔值或 0/1 值的张量时。
✅ 举个例子来说明：
设有两个值 a 和 b，都在 {0, 1} 之间（也就是二值）：
a |
b |
a + b |
(a + b) % 2 |
a ^ b (XOR) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 0 | 0 |
✅ 在 PyTorch 中：
a ^ b是布尔类型的异或（必须是 bool）(a + b) % 2是数值类型的异或等价操作（适用于 int/float 形式）
✅ 总结：
| 表达式 | 类型要求 | 等价含义 |
|---|---|---|
a ^ b |
布尔张量 | 异或（推荐用于 bool） |
(a + b) % 2 |
数值张量（0/1） | 异或（等价，更通用） |
✅ 一句话评价：
- ✅
matrix_randomized_response()更通用、更清晰、语义更明确。 - ⚠️
rr_adj()更简洁，但逻辑上容易误解，并且不适合复用到非邻接矩阵。
🔍 逐点比较：
| 点 | rr_adj() |
matrix_randomized_response() |
|---|---|---|
| ✅ 功能完整 | 是（扰动 + 去自环） | 是（扰动，适合任意矩阵） |
| 📦 可复用性 | 差，只能用于邻接矩阵 | 强，可用于标签、特征、邻接等 |
| 💬 表达语义 | 模糊，% 2 实现 XOR 不直观 |
清晰，显示 ^ 表达异或逻辑 |
| 📐 翻转概率显式 | 是，直接使用 1 1 + e ε \frac{1}{1+e^\varepsilon} 1+eε1 | 是，明确区分"翻转/保留"概率 |
| 🚫 特殊处理对角线 | 有（显式 fill_diagonal_) |
无（需调用者自行处理） |
| ⚙️ 类型控制 | 隐式处理，全部 float | 明确布尔处理，更安全 |