力扣-快乐数 - 技术栈

1.题目要求

2.题目链接

202. 快乐数 - 力扣（LeetCode）

3.题目分析

首先 ,因为需要频繁地用到数字变为各个位上的平方的过程,我们可以将"对于一个正整数,每一次将该数替换为它每个位置的数字的平方和 "这一操作抽象出来，**定义成一个方法funtion（int n）**以供调用。

第二，我们可以从题目中得知，数字经过funtion操作后 ，只有两种结果，一种是结果是1 ，一种是无限循环但是不等于1 （不存在第三种情况，也就是数字无限演化但既不等于1也不循环，可以通过鸽巢定理简单证明）。又因为funtion（1）=1，所以说结果为1后也可以认为陷入了循环。

所以数字经过funtion操作后，最终都会陷入循环，那么我们就可以得到：

第三，这种情况就是我们非常熟悉的链表带环问题了。

链表带环问题就是需要我们判断一个链表是否带有环，我们通过定义快慢双指针，快指针fast一次走两步，慢指针slow一次走一步，进行循环，如果链表带环，那么双指针跑不出去链表，也就是会无限循环，直到双方相遇；如果链表不带环，那么快指针fast就会触发fast==null||fast.next==null这一条件终止while循环。

这里我们是将快乐数的演化操作想象成一条带环的链表，来求快慢指针相遇的节点的值，因为快慢指针的相遇一定是在环内，所以我们可以得到循环的值，如果是1，则证明该数是快乐数。如果不是，则证明不是。

java 复制代码

public boolean isHappy(int n) {
        int slow=n;
        int fast=function(n);
        while(fast!=slow){
            slow=function(slow);
            fast=function(function(fast));
        } 
        if(slow==1){
            return true;
        }
        else{
            return false;
        }
    }

这里因为我们已知链表有环，所以我们可以直接设置while结束条件为fast！=slow。但是fast和slow都是从头结点n开始的，根本无法进入while循环，所以我们可以将fast指针往前移动一步（int fast=function(n);）。

4代码细节

（1）为什么fast在这里可以先走一步？

正确性证明

快慢指针法的核心是：只要存在环，快指针一定会追上慢指针，无论两者的初始位置如何。具体分析：

环的存在性 ：若n不是快乐数，则序列必然陷入某个循环（环）。
相对速度 ：fast每次比slow多走一步（slow走 1 步，fast走 2 步），因此两者的相对距离每次减少 1。
相遇必然性 ：无论fast和slow的初始位置相差多少步，只要存在环，fast最终一定会追上slow（相对距离减至 0）。

提前一步的影响

加速相遇 ：fast提前一步，相当于提前进入环，可能减少相遇所需的迭代次数。
不改变结果：相遇点的位置可能不同，但最终仍能判断是否存在环（是否等于 1）。

（2）快慢指针移动逻辑

原问题中，fast=fast.next.next，slow=slow.next。这里我们也要对应的写为：

java 复制代码

while(fast!=slow){
            slow=function(slow);
            fast=function(function(fast));
        }

如果不小心写为这样：

java 复制代码

while(fast!=slow){
            slow=function(n);
            fast=function(function(n));
        }

就会导致slwo和fast永远都是固定值，双指针永远不移动。