数据结构与算法学习笔记----动态规划·状态机模型
@@ author: 明月清了个风
@@ first publish time: 2025.5.20
ps⭐️背包终于结束了，状态机模型题目不多。状态机其实是一种另类的状态表示方法，将某一个点扩展为一个状态进行保存并在多个状态之间转移，具体的来看题目理解吧。
Acwing 1049. 大盗阿福
阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。
这条街上一共有N 家店铺，每家店中都有一些现金。阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。
作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？
输入格式
输入的第一行是一个整数 T T T，表示一共有 T T T组数据。
接下来的每组数据，第一行是一个整数 N N N ，表示一共有N家店铺。第二行是 N N N个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。每家店铺中的现金数量均不超过1000。
输出格式
对于每组数据，输出一行。该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。
数据范围
1 ≤ T ≤ 50 1 \le T \le 50 1≤T≤50,
1 ≤ N ≤ 100000 1 \le N \le 100000 1≤N≤100000
思路
很明显，这道题是一道线性的问题，题目并没有对抢劫的顺序有特殊的规定，因此可以从前往后。
对于状态表示而言，使用 f i fi fi表示抢劫前 i i i家店的最大收益。
然后就是状态划分，同样根据最后一步的选择进行，若不抢劫第 i i i家店铺，那就是 f i − 1 fi - 1 fi−1，若抢劫第 i i i家店铺，那么意味着第 i − 1 i - 1 i−1家店铺就无法选择了，因此相当于只能从前 i − 2 i - 2 i−2家店铺进行选择的最大值 f i − 2 + w i fi - 2 + wi fi−2+wi。
但是上述分析其实在更新一个状态时，用到了前面两次的状态，下面考虑如何进行优化。
在上面的分析中，当仅用上一轮的状态也就是不知道第 i − 2 i - 2 i−2的状态，如果我们抢劫第 i i i家店铺的时候，无法知道在最优解中第 i − 1 i - 1 i−1家店铺是否被抢劫了，无法进行转移，因此引入状态机的表示方法，将所有状态表示为 f i 0 fi0 fi0与 f i 1 fi1 fi1， 0 0 0表示当前店铺未选择， 1 1 1表示当前店铺被选择了，这样就将每个店铺的两个状态分开了，对于 f i 0 fi0 fi0,表示第 i i i个店铺没有被选择，因此可以从 f i − 1 1 fi - 11 fi−11或 f i − 1 0 fi - 10 fi−10转移过来；对于 f i 1 fi1 fi1，表示第 i i i个店铺被选择了，因此只能从 f i − 1 0 fi - 10 fi−10转移过来。
代码
cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 10010, inf = 0x3f3f3f3f;
int T;
int n;
int f[N][2];
int w[N];
int main()
{
cin >> T;
while(T --)
{
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> w[i];
f[0][0] = 0, f[0][1] = -0x3f3f3f3f;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];
}
cout << max(f[n][1], f[n][0]) << endl;
}
return 0;
}Acwing 1057. 股票买卖 IV
给定一个长度为 N N N的数组，数组中的第 i i i个数字表示一个给定股票在第 i i i天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润，你最多可以完成 k k k笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。一次买入卖出合为一笔交易。
输入格式
第一行包含整数 N N N和 k k k，表示数组的长度以及你可以完成的最大交易笔数。
第二行包含 N N N个不超过 10000 10000 10000的非负整数，表示完整的数组。
输出格式
输出一个整数，表示最大利润。
数据范围
1 ≤ N ≤ 10 5 1 \le N \le 10^5 1≤N≤105,
1 ≤ k ≤ 100 1 \le k \le 100 1≤k≤100
思路
这道题很明显也可以看成两个状态，一个是手中有股票(已经买入了一个股票)，另一个是手中没有股票(可以买入一个股票)，那么状态的转移是：手中有股票时可以卖出不可以再次买入，也可以什么都不做；手中无股票时可以买入不可以卖出，也可以什么都不做。
当在某一天要卖出股票时，相当于获得这一天的权重 w i wi wi；当要在某一天买入时，就要减去当天的权重 w i wi wi。
搞清楚题目的意思后，可以看状态表示了，使用 f i j 0 fij0 fij0和 f i j 1 fij1 fij1表示前 i i i天完成了 j j j笔交易且当前的状态为 0 0 0或 1 1 1。 0 0 0表示手中没有股票， 1 1 1表示手中有股票，也就是正在进行第 j j j次交易，属性就是集合的最大值。
那么对于状态转移， f i j 0 fij0 fij0可以从 f i − 1 j 0 fi - 1j0 fi−1j0走过来，也可以从 f i − 1 j 1 fi - 1j1 fi−1j1转移过来，因此 f i j 0 = m a x ( f i − 1 j 0 , f i − 1 j 1 + w i ) fij0 = max(fi - 1j0, fi - 1j1 + wi) fij0=max(fi−1j0,fi−1j1+wi)；对于 f i j 1 fij1 fij1来说，其状态转移方程为 f i j 1 = m a x ( f i − 1 j 1 , f i − 1 \[ j − 1 0 ] − w i ) fij1 = max(fi - 1j1, fi - 1\[j - 10] - wi) fij1=max(fi−1j1,fi−1\[j−10]−wi).
需要注意的是初始化状态，当交易次数为 0 0 0的时候，手中不可能持有股票，因此都为非法状态，需要进行标记，而交易次数为 0 0 0时，手中没有股票为合法状态，初始化为 0 0 0即可。
代码
cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010, M = 110;
int n, m;
int w[N];
int f[N][M][2];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> w[i];
memset(f, -0x3f, sizeof f);
for(int i = 0; i <= n; i ++) f[i][0][0] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = 1; j <= m; j ++)
{
f[i][j][0] = max(f[i - 1][j][0], f[i - 1][j][1] + w[i]);
f[i][j][1] = max(f[i - 1][j][1], f[i - 1][j - 1][0] - w[i]);
}
}
int res = 0;
for(int i = 1; i <= m; i ++) res = max(res, f[n][i][0]);
cout << res << endl;
return 0;
}Acwing 1058. 股票买卖V
给定一个长度为 N N N的数组，数组中的第 i i i个数字表示一个给定股票在第 i i i天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润，在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一只股票)
- 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
- 卖出股票后，你无法在第二天买入股票（即冷却期为 1 1 1天）。
输入格式
第一行包含整数 N N N，表示数组长度。
第二行包含 N N N个不超过 10000 10000 10000的正整数，表示完整的数组。
输出格式
输出一个整数，表示最大利润。
数据范围
1 ≤ N ≤ 10 5 1 \le N \le 10^5 1≤N≤105,
思路
在这一题中添加了一个条件，在交易过后会有一天的冷冻期，因此变成了三个状态：手中有股票，手中没有股票的第一天，手中没有股票的第 ≥ 2 \ge 2 ≥2天。相当于把上一题中的第二个状态再次进行了分割。
这三个状态的转换关系如下：
手中有货可由手中有货转移而来，他可转移至手中无货的第一天(即第二种状态)，手中无货的第一天只能向第三种状态进行转移；第三种状态可以转移到自身，也可转移到手中有货(即第一种状态)。
同样地，可以使用 f i 0 , f i 1 , f i 2 fi0,fi1,fi2 fi0,fi1,fi2表示这三种状态，三种状态的转移方程如下：
f i 0 = m a x ( f i − 1 0 , f i − 1 2 − w i ) fi0 = max(fi - 10, fi - 12 - wi) fi0=max(fi−10,fi−12−wi)
f i 1 = f i − 1 0 + w i fi1 = fi - 10 + wi fi1=fi−10+wi
f i 2 = m a x ( f i − 1 1 , f i − 1 2 ) fi2 = max(fi - 11, fi - 12) fi2=max(fi−11,fi−12)
然后就是考虑初始化的问题，前两个状态在刚开始时都是非法状态，即 f 0 0 , f 0 1 f00,f01 f00,f01；只要将 f 0 2 f02 f02初始化为 0 0 0即可。
还有一个情况就是数据是单调下降的，也就是股票一直在跌，最优解就是什么都不做，因此最后的答案可能出现在 f n 1 fn1 fn1与 f n 2 fn2 fn2中。
代码
cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010, inf = 0x3f3f3f3f;
int n;
int w[N];
int f[N][3];
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> w[i];
f[0][0] = f[0][1] = -inf;
f[0][2] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][2] - w[i]);
f[i][1] = f[i - ][0] + w[i];
f[i][2] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][2]);
}
cout << max(f[n][1], f[n][2]) << endl;
return 0;
}Acwing 1052. 设计密码
你现在需要设计一个密码 S S S， S S S需满足：
- S S S的长度是 N N N；
- S S S只包含小写英文字母；
- S S S不包含子串 T T T；
例如， a b c abc abc是 a b c d e abcde abcde的子串， a b d abd abd不是 a b c d e abcde abcde的子串。
请问共有多少种不同的密码满足要求？
由于答案会非常大，请输出答案模 10 9 + 7 10^9 + 7 109+7的余数。
输入格式
第一行包含整数 N N N，表示密码的长度。
第二行输入字符串 T T T， T T T中只包含小写字母。
输出格式
输出一个正整数，表示总方案数模 10 9 + 7 10^9 + 7 109+7后的结果。
数据范围
1 ≤ N ≤ 50 1 \le N \le 50 1≤N≤50,
1 ≤ ∣ T ∣ ≤ n 1 \le |T| \le n 1≤∣T∣≤n， ∣ T ∣ |T| ∣T∣是 T T T的长度。
思路
这一题要用到基础课中的 K M P KMP KMP算法，最好去复习一下，链接在这，它是一个字符串匹配算法，目的是为了尽可能多的利用已知的信息进行匹配。暴力匹配的两个字符串的最坏情况是 O ( n ∗ m ) O(n * m) O(n∗m)，而 K M P KMP KMP算法可以将其降到 O ( n + m ) O(n + m) O(n+m)。具体来说， K M P KMP KMP算法的核心是 n e x t next next数组，其存有的信息代表着：当模式串与文本串匹配不成功时，模式串应该向右移动到什么位置，即跳过一步一步向右移动的过程。需要注意的是 n e x t next next数组是对模式串而言的，而不是对待匹配的文本串。
n e x t next next数组的具体定义是： n e x t i nexti nexti表示模式串 P 0 ⋯ i − 1 P0\\cdots i - 1 P0⋯i−1的最长公共前后缀的长度。
根据题意，我们需要使用 26 26 26个小写字母构造一个长度为 n n n的字符串 S S S，且 T T T不是字符串的子串，那么每一位密码有 26 26 26种选择，因此最坏就有 26 n 26^n 26n种方案。
为了使构造的密码 S S S中不包含字符创 T T T，那就意味着要使匹配的过程无法到达 T T T的最后一位.
首先先通过 K M P KMP KMP处理出模式串 T T T的 n e x t next next数组，对于这道题的状态表示，使用 f i j fij fij表示已经构造了前 i i i位，且与模式串 T T T匹配到了 j j j位(很明显， j j j不能到 m = s t r l e n ( T ) m = strlen(T) m=strlen(T))。
代码
cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N =60, mod = 1e9 + 7;
int n;
int ne[N];
char str[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> str + 1;
for(int i = 2, j = 0; i <= n; i ++)
{
while(j && str[i] != str[j + 1]) j = ne[j];
if(str[i] == str[j + 1]) j ++;
ne[i] = j;
}
f[0][0] = 1;
for(int i = 0; i < n; i ++)
for(int j = 0; j < m; j ++)
for(char k = 'a'; k <= 'z'; k ++)
{
int u = j;
while(u && k != str[u + 1]) u = ne[u];
if(k == str[u + 1]) u ++;
f[i + 1][u] = (f[i + 1][u] + f[i][j]) % mod;
}
int res = 0;
for(int i = 0; i < m; i ++) res = (res + f[n][i]) % mod;
cout <<res << endl;
return 0;
}