贪心算法——分数背包问题

一、背景介绍

给定𝑛个物品，第𝑖个物品的重量为𝑤𝑔𝑡[𝑖−1]、价值为𝑣𝑎𝑙[𝑖−1]，和一个容量为𝑐𝑎𝑝的背包。每个物品只能选择一次，但可以选择物品的一部分，价值根据选择的重量比例计算，**问：**在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。

如下图所示，我们可以对物品任意地进行切分，并按照重量比例来计算物品价值。

对于物品𝑖，它在单位重量下的价值为𝑣𝑎𝑙[𝑖−1]/𝑤𝑔𝑡[𝑖−1]，简称为单位价值。
假设放入一部分物品𝑖，重量为𝑤，则背包增加的价值为𝑤×𝑣𝑎𝑙[𝑖−1]/𝑤𝑔𝑡[𝑖−1]。

二、具体实现

1. 贪心策略确定

最大化背包内物品总价值，本质上是要最大化单位重量下的物品价值。由此便可推出下图所示的贪心策略。

1）将物品按照单位价值从高到低进行排序。

2）遍历所有物品，每轮贪心地选择单位价值最高的物品。

3）若剩余背包容量不足，则使用当前物品的一部分填满背包即可。

2.代码实现

我们建立了一个物品类Item，以便将物品按照单位价值进行排序。循环进行贪心选择，当背包已满时跳出并返回解。

复制代码

class Item:
    """物品"""

    def __init__(self, w: int, v: int):
        self.w = w  # 物品重量
        self.v = v  # 物品价值


def fractional_knapsack(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
    """分数背包：贪心"""
    # 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    items = [Item(w, v) for w, v in zip(wgt, val)]
    # 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    items.sort(key=lambda item: item.v / item.w, reverse=True)
    # 循环贪心选择
    res = 0
    for item in items:
        if item.w <= cap:
            # 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += item.v
            cap -= item.w
        else:
            # 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += (item.v / item.w) * cap
            # 已无剩余容量，因此跳出循环
            break
    return res


"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
    wgt = [10, 20, 30, 40, 50]
    val = [50, 120, 150, 210, 240]
    cap = 50
    n = len(wgt)

    # 贪心算法
    res = fractional_knapsack(wgt, val, cap)
    print(f"不超过背包容量的最大物品价值为 {res}")

最差情况下，需要遍历整个物品列表，因此时间复杂度为𝑂(𝑛)，其中𝑛为物品数量。

由于初始化了一个Item对象列表，因此空间复杂度为𝑂(𝑛)。

三、正确性证明

采用反证法。

假设物品𝑥是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为res，但该解中不包含物品𝑥 。现在从背包中拿出单位重量的任意物品，并替换为单位重量的物品𝑥。由于物品𝑥的单位价值最高，因此替换后的总价值一定大于res。这与res是最优解矛盾，说明最优解中必须包含物品𝑥。对于该解中的其他物品，我们也可以构建出上述矛盾。总而言之，单位价值更大的物品总是更优选择，这说明贪心策略是有效的。

如下图所示，如果将物品重量和物品单位价值分别看作一个2D图表的横轴和纵轴，则分数背包问题可被转化为"求在有限横轴区间下的最大围成面积"。这个类比可以帮助我们从几何角度理解贪心策略的有效性。