代码随想录第43天：图论4（最小生成树、拓扑排序）

一、冗余的边II（Kamacoder 109）

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from collections import defaultdict

# 并查集 - 查找根节点（路径压缩）
def find(fa, x):
    if fa[x] != x:
        fa[x] = find(fa, fa[x])
    return fa[x]

# 并查集 - 合并两个集合，返回是否合并成功
def union(fa, x, y):
    fx, fy = find(fa, x), find(fa, y)
    if fx != fy:
        fa[fx] = fy
        return True  # 合并成功，无环
    return False  # 已在一个集合中，成环

# 判断删除某一条边后，是否构成有向树（无环）
def is_tree_after_removal(edges, remove_idx, n):
    fa = list(range(n + 1))  # 初始化并查集
    for i, (u, v) in enumerate(edges):
        if i == remove_idx:  # 跳过指定要删除的边
            continue
        if not union(fa, u, v):  # 出现环
            return False
    return True

# 主函数：找出多余的那条边
def find_redundant_directed_connection(n, edges):
    in_deg = defaultdict(list)  # 记录每个节点的入边索引（用于找入度为2的点）

    for i, (u, v) in enumerate(edges):
        in_deg[v].append(i)

    # 情况 1：存在某个点入度为 2（有两个父节点）
    for v in in_deg:
        if len(in_deg[v]) == 2:
            i1, i2 = in_deg[v]
            # 优先删除后添加的边（尝试是否能变成树）
            if is_tree_after_removal(edges, i2, n):
                return edges[i2]
            # 否则只能删另一条
            return edges[i1]

    # 情况 2：无入度为2的点，仅存在有向环
    fa = list(range(n + 1))  # 初始化并查集
    for u, v in edges:
        if not union(fa, u, v):  # 出现环
            return [u, v]

# 读取输入和输出结果
if __name__ == "__main__":
    n = int(input())  # 节点数
    edges = [list(map(int, input().split())) for _ in range(n)]  # 读取边
    print(*find_redundant_directed_connection(n, edges))  # 输出多余的那条边

二、寻宝（Kamacoder 53）

最小生成树：在无向图中求一棵树（n-1条边，无环，连通所有点），而且这棵树的边权和最小。

等价于：怎么花最小成本连通无向图的所有点？？？

Prim（普里姆算法）：更适合稠密图，与边的数量没关系，加点法

Kruskal(克鲁斯卡尔算法)：更适合稀疏图，与节点的数量没关系，加边法

最小生成树可能不唯一，但是边权和唯一！！！！

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# 接收输入：v 个顶点，e 条边
v, e = list(map(int, input().strip().split()))

# 使用邻接矩阵初始化图：默认所有节点之间不可达，设为一个很大的数（10001）
graph = [[10001] * (v + 1) for _ in range(v + 1)]
for _ in range(e):
    x, y, w = list(map(int, input().strip().split()))
    graph[x][y] = w
    graph[y][x] = w  # 因为是无向图，双向赋值

# 初始化 Prim 算法所需变量
visited = [False] * (v + 1)  # 标记哪些节点已加入生成树
minDist = [10001] * (v + 1)  # 记录每个节点与当前生成树的最短连接边权重

# 从第一个节点开始构建 MST（通常默认从顶点1开始）
minDist[1] = 0  # 起点到自己权重为 0

# Prim 主循环：重复选择 v 次，每次选择一个未加入树的、距离最小的节点
for _ in range(1, v + 1):
    min_val = 10002  # 当前最小权重（初始为无穷大）
    cur = -1         # 当前选择加入树的节点

    # 遍历所有未访问的节点，选出与树连接距离最小的那个
    for j in range(1, v + 1):
        if not visited[j] and minDist[j] < min_val:
            cur = j
            min_val = minDist[j]

    visited[cur] = True  # 标记该节点已加入 MST

    # 更新其他未加入节点的 minDist，如果通过新加入的 cur 更近
    for j in range(1, v + 1):
        if not visited[j] and graph[cur][j] < minDist[j]:
            minDist[j] = graph[cur][j]

# 累加所有边权（minDist[1] 是起点设为 0，可以忽略）
ans = sum(minDist[2:])  # minDist[1] 为起点设为 0，不计入答案
print(ans)

三、软件构建（Kamacoder 117）

拓扑排序：所有点按照先后顺序排成序列，每次选入度为0的点，然后删除这个点和它的出边，如果拓扑排序进行不下去了，说明图中有环。

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from collections import deque, defaultdict

def topo_sort(n, edges):
    indeg = [0] * n  # indeg[i] 表示点 i 的入度（被多少个点指向）
    graph = defaultdict(list)  # 用邻接表 graph 存储有向图，graph[u] 里是所有从 u 出发可达的点

    # 构建图和入度数组
    for u, v in edges:
        graph[u].append(v)  # u 指向 v
        indeg[v] += 1       # v 的入度加一

    # 将所有入度为 0 的点入队，表示它们可以首先被处理
    q = deque(i for i in range(n) if indeg[i] == 0)

    res = []  # 存储拓扑排序的结果

    while q:
        u = q.popleft()   # 取出一个入度为 0 的点
        res.append(u)     # 加入结果中

        for v in graph[u]:  # 遍历 u 指向的所有节点
            indeg[v] -= 1   # u 被处理了，v 的入度减一
            if indeg[v] == 0:  # 若 v 入度减为 0，加入队列等待处理
                q.append(v)

    # 若结果中包含了所有 n 个节点，说明成功排序；否则图中有环，无法拓扑排序
    print(" ".join(map(str, res)) if len(res) == n else -1)

if __name__ == "__main__":
    # 读取顶点数 n 和边数 m
    n, m = map(int, input().split())
    
    # 读取 m 条边，构建边列表
    edges = [tuple(map(int, input().split())) for _ in range(m)]

    # 调用拓扑排序函数
    topo_sort(n, edges)