LeetCode 1524. 和为奇数的子数组数目

好的！让我们详细解释 LeetCode 1524. 和为奇数的子数组数目 这道题的思路和解法。

题目： https://leetcode.cn/problems/number-of-sub-arrays-with-odd-sum/description/

题目分析

问题描述 ：

给定一个整数数组 arr，返回其中和为奇数的子数组的数目。由于答案可能很大，结果需对 10^9 + 7 取余。

示例：

输入：arr = [1, 3, 5]

输出：4

解释：

子数组 [1]、[3]、[5] 的和均为奇数。
子数组 [1, 3, 5] 的和为 1 + 3 + 5 = 9，也是奇数。

暴力解法（超时）

思路：

枚举所有子数组，计算每个子数组的和并判断奇偶性。

代码：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int numOfSubarrays(vector<int>& arr) {
        const int MOD = 1e9 + 7;
        int count = 0;
        int n = arr.size();
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int sum = 0;
            for (int j = i; j < n; j++) {
                sum += arr[j];
                if (sum % 2 == 1) {
                    count = (count + 1) % MOD;
                }
            }
        }
        return count;
    }
};

复杂度：

时间复杂度：O(n²)
空间复杂度：O(1)

优化解法：前缀和 + 奇偶计数

核心思路：

前缀和的奇偶性 ：子数组 [i, j] 的和为 prefix[j+1] - prefix[i]，其中 prefix[k] 表示前 k 个元素的和。
奇偶性规律 ：若 prefix[j+1] 和 prefix[i] 的奇偶性不同，则子数组和为奇数。
哈希表统计：动态维护前缀和为奇数和偶数的次数，遍历数组时累加符合条件的子数组数目。

代码：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int numOfSubarrays(vector<int>& arr) {
        const int MOD = 1e9 + 7;
        int count = 0;
        int prefix = 0;      // 当前前缀和
        int odd = 0;         // 前缀和为奇数的次数
        int even = 1;        // 前缀和为偶数的次数（初始包含前缀和为0的情况）
        
        for (int num : arr) {
            prefix += num;
            if (prefix % 2 == 0) {
                // 当前前缀和为偶数，加上之前前缀和为奇数的次数
                count = (count + odd) % MOD;
                even++;
            } else {
                // 当前前缀和为奇数，加上之前前缀和为偶数的次数
                count = (count + even) % MOD;
                odd++;
            }
        }
        return count;
    }
};

复杂度：

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

详细解释

前缀和的奇偶性 ：

对于子数组 [i, j]，其和为 prefix[j+1] - prefix[i]。
- 若 prefix[j+1] 为偶数，prefix[i] 为奇数，则和为奇数。
- 若 prefix[j+1] 为奇数，prefix[i] 为偶数，则和为奇数。
动态维护奇偶次数：
- odd：记录遍历到当前位置时，前缀和为奇数的次数。
- even：记录遍历到当前位置时，前缀和为偶数的次数。
- 初始值 ：even = 1，因为空数组的前缀和为 0（偶数）。
累加结果：
- 若当前前缀和为偶数，则它可以与之前所有奇数前缀和形成有效子数组，累加 odd。
- 若当前前缀和为奇数，则它可以与之前所有偶数前缀和形成有效子数组，累加 even。

示例验证

输入：arr = [1, 3, 5]

步骤如下：

初始状态 ：prefix = 0，odd = 0，even = 1，count = 0。
处理 1 ：prefix = 1（奇数），count += even = 1，odd = 1，even = 1。
处理 3 ：prefix = 4（偶数），count += odd = 1 + 1 = 2，odd = 1，even = 2。
处理 5 ：prefix = 9（奇数），count += even = 2 + 2 = 4，odd = 2，even = 2。

最终结果：4，与预期一致。

总结

通过前缀和的奇偶性分析和动态计数，我们将时间复杂度从 O(n²) 优化到 O(n)，空间复杂度为 O(1)。这种方法适用于所有类似的"子数组和满足某种奇偶性条件"的问题，核心在于利用前缀和的奇偶性快速查找配对。