LeetCode 1524. 和为奇数的子数组数目

好的!让我们详细解释 LeetCode 1524. 和为奇数的子数组数目 这道题的思路和解法。

题目https://leetcode.cn/problems/number-of-sub-arrays-with-odd-sum/description/

题目分析

问题描述

给定一个整数数组 arr,返回其中和为奇数的子数组的数目。由于答案可能很大,结果需对 10^9 + 7 取余。

示例

输入:arr = [1, 3, 5]

输出:4

解释:

  • 子数组 [1][3][5] 的和均为奇数。
  • 子数组 [1, 3, 5] 的和为 1 + 3 + 5 = 9,也是奇数。

暴力解法(超时)

思路

枚举所有子数组,计算每个子数组的和并判断奇偶性。

代码

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int numOfSubarrays(vector<int>& arr) {
        const int MOD = 1e9 + 7;
        int count = 0;
        int n = arr.size();
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int sum = 0;
            for (int j = i; j < n; j++) {
                sum += arr[j];
                if (sum % 2 == 1) {
                    count = (count + 1) % MOD;
                }
            }
        }
        return count;
    }
};

复杂度

  • 时间复杂度:O(n²)
  • 空间复杂度:O(1)

优化解法:前缀和 + 奇偶计数

核心思路

  1. 前缀和的奇偶性 :子数组 [i, j] 的和为 prefix[j+1] - prefix[i],其中 prefix[k] 表示前 k 个元素的和。
  2. 奇偶性规律 :若 prefix[j+1]prefix[i] 的奇偶性不同,则子数组和为奇数。
  3. 哈希表统计:动态维护前缀和为奇数和偶数的次数,遍历数组时累加符合条件的子数组数目。

代码

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int numOfSubarrays(vector<int>& arr) {
        const int MOD = 1e9 + 7;
        int count = 0;
        int prefix = 0;      // 当前前缀和
        int odd = 0;         // 前缀和为奇数的次数
        int even = 1;        // 前缀和为偶数的次数(初始包含前缀和为0的情况)
        
        for (int num : arr) {
            prefix += num;
            if (prefix % 2 == 0) {
                // 当前前缀和为偶数,加上之前前缀和为奇数的次数
                count = (count + odd) % MOD;
                even++;
            } else {
                // 当前前缀和为奇数,加上之前前缀和为偶数的次数
                count = (count + even) % MOD;
                odd++;
            }
        }
        return count;
    }
};

复杂度

  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(1)

详细解释

  1. 前缀和的奇偶性

    对于子数组 [i, j],其和为 prefix[j+1] - prefix[i]

    • prefix[j+1] 为偶数,prefix[i] 为奇数,则和为奇数。
    • prefix[j+1] 为奇数,prefix[i] 为偶数,则和为奇数。
  2. 动态维护奇偶次数

    • odd:记录遍历到当前位置时,前缀和为奇数的次数。
    • even:记录遍历到当前位置时,前缀和为偶数的次数。
    • 初始值even = 1,因为空数组的前缀和为 0(偶数)。
  3. 累加结果

    • 若当前前缀和为偶数,则它可以与之前所有奇数前缀和形成有效子数组,累加 odd
    • 若当前前缀和为奇数,则它可以与之前所有偶数前缀和形成有效子数组,累加 even

示例验证

输入:arr = [1, 3, 5]

步骤如下:

  1. 初始状态prefix = 0odd = 0even = 1count = 0
  2. 处理 1prefix = 1(奇数),count += even = 1odd = 1even = 1
  3. 处理 3prefix = 4(偶数),count += odd = 1 + 1 = 2odd = 1even = 2
  4. 处理 5prefix = 9(奇数),count += even = 2 + 2 = 4odd = 2even = 2

最终结果:4,与预期一致。

总结

通过前缀和的奇偶性分析和动态计数,我们将时间复杂度从 O(n²) 优化到 O(n),空间复杂度为 O(1)。这种方法适用于所有类似的"子数组和满足某种奇偶性条件"的问题,核心在于利用前缀和的奇偶性快速查找配对。

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