概率算法的空乘就坐问题

1 简介

在概率算法中人的有目的选择作为主观行为，通常计为概率1。本文探讨了概率算法在特定问题中的应用，即计算空乘就坐问题的变体：一系列人按照特定规则坐在椅子上的概率。

通过详细的分析和验证，文章得出了两种情况下所有人都坐在自己编号椅子上的概率。

2 问题的提出

有以下问题求解：

一个屋子里有5个椅子编号1到5，屋外有人5个编号也是1到5。

现在屋外的人依次进入屋子，比如1号人进入屋子随机选中一个椅子坐下之后。

问题1： 其他人依次进入屋子看自己对应编号是否被占用，如果没有占用则做自己编号的椅子否则随机选中一个坐，如此5个人都坐到自己编号椅子的概率是多少？

问题2：如果第二个人开始不是优先选中自己编号的椅子，而是随机选中椅子坐，那么5个人都坐到自己编号的椅子概览又是多少？

问题设定在一个有5把编号椅子的屋子里，屋外也有5个编号对应的人。

文章分析了两种情况:一是第一个人随机选择椅子后，后续人优先选择自己编号的椅子(若未被占用)的概率问题;二是从第二个人开始，所有人都完全随机选择椅子的概率问题。

3 问题解决过程

问题1： 优先选择自己编号的椅子

• 描述：

屋外有5个人，编号1到5；屋内有5把椅子，编号1到5。人们依次进入屋子：

1号人随机选择一个椅子坐下（完全随机，每个椅子概率相同）。

对于后续的人（2号到5号）：

首先检查自己编号的椅子是否空闲。

如果空闲，就坐在自己的椅子上。

如果不空闲，就随机选择一个当前空闲的椅子坐下。

问：最终所有人都坐在自己编号的椅子上的概率是多少？

• 过程：

首先，我们需要明确"所有人都坐在自己编号的椅子上"意味着什么。这意味着：

  1号人坐在1号椅子，

  2号人坐在2号椅子，

  ...

  5号人坐在5号椅子。

但是根据规则，1号人是随机选择的，所以1号人坐在1号椅子的概率是1/5。如果1号人没有坐在1号椅子上，那么后续的人会优先选择自己的椅子，这可能会影响其他人的选择。

然而，关键在于"所有人都坐在自己的椅子上"这一事件发生的唯一可能性是：1号人一开始就选择了1号椅子。为什么？

因为：

如果1号人没有选择1号椅子（比如选择了k号椅子，k ≠ 1），那么当k号人进入时：

如果k号人之前的2到k-1号人都坐在自己的椅子上（即2号人坐2号，..., k-1号人坐k-1号），那么k号人会发现自己的椅子被1号人占了，因此会随机选择一个空闲的椅子。

这意味着k号人有可能选择1号椅子（如果1号椅子还空闲），这将导致1号人无法坐在自己的椅子上。

更一般地，任何一个人如果被迫随机选择，都有可能选择1号椅子，从而阻止1号人坐在自己的椅子上。

因此，唯一能让所有人都坐在自己椅子上的情况是：1号人一开始就选择了1号椅子，这样后续的每个人都会发现自己的椅子空闲，从而坐在自己的椅子上。

所以，概率就是1号人选择1号椅子的概率，即1/5。

• 验证：

让我们用更小的例子验证一下。假设只有2个人和2把椅子：

1号人选择1号椅子（概率1/2）：

然后2号人进来，发现2号椅子空闲，坐2号椅子。

所有人都坐在自己的椅子上。

1号人选择2号椅子（概率1/2）：

2号人进来，发现2号椅子被占，只能随机选择剩下的1号椅子。

结果是：1号人在2号椅子，2号人在1号椅子。

没有人坐在自己的椅子上。

因此，对于n=2，概率是1/2，与我们的结论一致。

再试n=3：

1号人选择1号椅子（概率1/3）：

2号人坐2号，3号人坐3号。

所有人都坐在自己的椅子上。

1号人选择2号椅子（概率1/3）：

2号人进来，发现2号被占，随机选择剩下的1号或3号。

选择1号：

3号人进来，发现3号空闲，坐3号。

结果是：1号在2号，2号在1号，3号在3号。

只有3号人坐在自己的椅子上。

选择3号：

3号人进来，发现3号被占，只能选择剩下的1号。

结果是：1号在2号，2号在3号，3号在1号。

没有人坐在自己的椅子上。

因此，1号人选择2号椅子时，无法所有人都坐在自己的椅子上。

1号人选择3号椅子（概率1/3）：

类似于选择2号椅子的情况，对称。

无法所有人都坐在自己的椅子上。

因此，对于n=3，概率也是1/3。

看起来我们的结论是正确的：对于n个人，概率是1/n。这里n=5，所以概率是1/5。

• 结论：

第一个问题的答案是：1/5。

4 解决问题二：从第二个人开始完全随机选择椅子

• 现在规则改变：

1号人随机选择一个椅子坐下。

对于后续的人（2号到5号）：

无论自己的编号椅子是否空闲，都完全随机选择一个当前空闲的椅子坐下。

问：最终所有人都坐在自己编号的椅子上的概率是多少？

• 解决过程：

现在，每个人（包括第一个人）都是完全随机选择一个空闲的椅子坐下。我们需要计算的是，最终每个人恰好坐在自己编号的椅子上的概率。

这实际上等价于：5个人随机排列（即随机坐在椅子上），形成一个排列，且这个排列是恒等排列（即每个人坐在自己的椅子上）。

对于n个元素的随机排列，恒等排列的概率是1/n!。因为总共有n!种可能的排列，其中只有一种是恒等的。

对于n=5，概率是1/5! = 1/120。

• 验证：

让我们用n=2验证：

可能的排列：

        1号人坐1号，2号人坐2号。

        1号人坐2号，2号人坐1号。

每个人都随机选择：

    1号人有1/2选择1号或2号。

如果选1号：

2号人只能选2号。

结果是恒等排列。

如果选2号：

2号人只能选1号。

结果是非恒等排列。

所以概率是1/2，而2! = 2，所以1/2! = 1/2，一致。

n=3：

总排列数：3! = 6。

恒等排列的概率应为1/6。

计算：

1号人有1/3选择1, 2, 或3。

选1（概率1/3）：

2号人有1/2选择2或3。

选2：

3号人必须选3。

恒等排列。

选3：

3号人必须选2。

非恒等。

所以选1时，恒等概率1/2。

选2或3：

无法形成恒等排列。

总概率：1/3 * 1/2 = 1/6。

一致。

因此，对于n=5，概率是1/5! = 1/120。

• 结论：

第二个问题的答案是：1/120

5 小结

概率算法在解决特定随机选择问题时具有重要作用。本文通过分析两种不同规则下人们坐在椅子上的概率问题，展示了概率算法的应用。

在第一种情况下，由于第一个人随机选择椅子，只有当第一个人选择自己编号的椅子时，后续人才能都坐在自己编号的椅子上，因此概率为1/n(n为人数)。

在第二种情况下，由于所有人都完全随机选择椅子，形成恒等排列(即每个人都坐在自己编号的椅子上)的概率则为1/n!。这些结论不仅解决了特定问题，也为类似随机选择问题的概率计算提供了参考，