前置
单峰函数有唯一的最大值，最大值左侧的数值严格单调递增，最大值右侧的数值严格单调递减。
单谷函数有唯一的最小值，最小值左侧的数值严格单调递减，最小值右侧的数值严格单调递增。
三分的本质
三分和二分一样都是通过不断缩小区间范围直到找到要查的值，优化查找值的时间复杂度。二分是在单调序列中查找一个值，三分是在单峰函数或单谷函数中查找极值。
三分有两个mid，可确定极值位置，mid1 = L + (R - L) / 3，mid2 = R - (R - L) / 3。对于单峰函数，当f(mid1) < f(mid2)时，mid1和mid2要么在极值左侧，要么在极值两侧，这两种情况极值一定在mid1右侧，L = mid1，当f(mid1) > f(mid2)时，mid1和mid2要么在极值右侧，要么在极值两侧，这两种情况极值一定在mid2左侧，R = mid2;
二分没法在单峰函数或单谷函数中查找极值，因为单峰或单谷函数没有单调性，所以需要三分。
能用三分则该问题的某部分是单峰或单谷函数。
三分求解步骤
1.问题的某部分是否具有单峰函数或单谷函数的性质。
2.实现三分
三分基础
已明确是单峰函数，可用三分。
代码如下：
cpp
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL Maxn = 15;
double vct[Maxn];
double func(double x, LL n) {
double res = 0.0;
double x_pow = 1.0;
for (LL i = 0; i <= n; ++i) {
res += vct[i] * x_pow;
x_pow *= x;
}
return res;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
LL n;
double L, R, eps = 1e-7, mid;
cin >> n >> L >> R;
for (LL i = n; i >= 0; --i) cin >> vct[i];
while (L + eps < R) {
mid = (L + R) / 2;
if (func(mid - eps, n) > func(mid + eps, n)) R = mid;
else L = mid;
}
cout << fixed << setprecision(5) << L;
return 0;
}注意精度，精度的处理类似实数域中的二分做法。
一般mid1取[L, R]的三分之一位置，mid2取[L, R]的三分之二位置，如此每次区间缩小到区间的三分之二，若mid1，mid2,取[L, R]的二分之一的位置的左右两侧，则区间每次缩小到区间的二分之一左右，时间复杂度接近二分。
三分套三分
两点间中的所有线直线的距离最短，所以都走直线，那么大概走法如下图，只需确定E点和F点即可。
设两点间的直线距离为dis(x, y)，走的总距离为S = dis(A, E) / P + dis(E, F) / R + dis(F, D) / Q。设E已知，则只需关心f(E) = dis(E, F) / R + dis(F, D) / Q，若f(E)是个单峰或单谷函数即可用三分查找F的最优解，此时 S = dis(A, E) / p + f(E)，若dis(A, E) / p + f(E)是个单峰或单谷函数即可用三分查找E的最优解，需要严格的数学证明，可我不会，就问了DeepSeek，它给出了如下图的详细证明。
DeepSeek证明了一定是单峰函数，则可用三分法求解。
代码如下：
cpp
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const double eps = 1e-8;
double ax, ay, bx, by, cx, cy, dx, dy, p, Q, r;
double getDis(double nx, double ny, double mx, double my) {
return sqrt((nx - mx) * (nx - mx) + (ny - my) * (ny - my));
}
double in_ter(double ex, double ey) {
double Lx = cx, Ly = cy, Rx = dx, Ry = dy;
double f1x = 0.0, f1y = 0.0, f2x = 0.0, f2y = 0.0, t1 = 0.0, t2 = 0.0;
while (getDis(Lx, Ly, Rx, Ry) > eps) {
f1x = Lx + (Rx - Lx) / 3.0;
f1y = Ly + (Ry - Ly) / 3.0;
f2x = Rx - (Rx - Lx) / 3.0;
f2y = Ry - (Ry - Ly) / 3.0;
t1 = getDis(ex, ey, f1x, f1y) / r + getDis(f1x, f1y, dx, dy) / Q;
t2 = getDis(ex, ey, f2x, f2y) / r + getDis(f2x, f2y, dx, dy) / Q;
if (t1 < t2) {
Rx = f2x;
Ry = f2y;
} else {
Lx = f1x;
Ly = f1y;
}
}
return getDis(ex, ey, Lx, Ly) / r + getDis(Lx, Ly, dx, dy) / Q;
}
double out_ter() {
double Lx = ax, Ly = ay, Rx = bx, Ry = by;
double e1x = 0.0, e1y = 0.0, e2x = 0.0, e2y = 0.0, t1 = 0.0, t2 = 0.0;
while (getDis(Lx, Ly, Rx, Ry) > eps) {
e1x = Lx + (Rx - Lx) / 3.0;
e1y = Ly + (Ry - Ly) / 3.0;
e2x = Rx - (Rx - Lx) / 3.0;
e2y = Ry - (Ry - Ly) / 3.0;
t1 = getDis(ax, ay, e1x, e1y) / p + in_ter(e1x, e1y);
t2 = getDis(ax, ay, e2x, e2y) / p + in_ter(e2x, e2y);
if (t1 < t2) {
Rx = e2x;
Ry = e2y;
} else {
Lx = e1x;
Ly = e1y;
}
}
return getDis(ax, ay, Lx, Ly) / p + in_ter(Lx, Ly);
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
cin >> ax >> ay >> bx >> by >> cx >> cy >> dx >> dy >> p >> Q >> r;
if (getDis(ax, ay, bx, by) < eps) {
cout << fixed << setprecision(2) << in_ter(ax, ay);
} else {
cout << fixed << setprecision(2) << out_ter();
}
return 0;
}最后的值是double型的，虽然输入数据是整数，但用double型表示，避免转换。
f1x为Lx，Rx三分之一的位置，f1y为Ly，Ry三分之一的位置，坐标必须能对在一起，否则(f1x,f1t)不在线段AB上。
总结
数学很重要，P2571就需要数学，没有数学证明是没法用三分的，也就没法写出这篇实现代码。要练习使用AI工具，缺知识的时候AI工具会派上大用场，关键是拆解问题规模，提出明确的问题。