在物理学中，很少有公式能像麦克斯韦方程组这样，兼具数学的对称美与物理的深刻性。
它用短短四行公式，统一了电、磁、光。
今天，我们不搞"天降公式"那一套。我们将回到 19 世纪的实验室，从最基础的实验定律出发，利用数学工具，一点点"逼"出这组方程。
准备工作：数学工具箱
在推导之前，我们需要两个连接"宏观"与"微观"的数学神器：
- 高斯散度定理 (Divergence Theorem) ：
穿过闭合曲面的通量 Φ\PhiΦ，等于体积内源的散度总和。
∮SA⋅da=∫V(∇⋅A)dV\oint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{a} = \int_V (\nabla \cdot \mathbf{A}) dV∮SA⋅da=∫V(∇⋅A)dV - 斯托克斯定理 (Stokes' Theorem) ：
沿闭合曲线的环流，等于该曲线围成曲面上旋度的通量。
∮LA⋅dl=∫S(∇×A)⋅da\oint_L \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \int_S (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{a}∮LA⋅dl=∫S(∇×A)⋅da
方程一：高斯电场定律 (Gauss's Law)
------电场的源头是电荷
1. 物理起点：库仑定律
我们在真空中放一个点电荷 QQQ，它在 rrr 处的电场是：
E=14πϵ0Qr2r^\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \mathbf{\hat{r}}E=4πϵ01r2Qr^
2. 宏观通量
我们要计算穿过包围这个电荷的任意闭合球面 SSS 的电通量。
∮SE⋅da=∮S(14πϵ0Qr2)da\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \oint_S \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \right) d\mathbf{a}∮SE⋅da=∮S(4πϵ01r2Q)da
由于球面面积是 4πr24\pi r^24πr2，代入计算得到：
∮SE⋅da=Qϵ0\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{Q}{\epsilon_0}∮SE⋅da=ϵ0Q
这就是高斯定律的积分形式 ：总通量等于内部总电荷除以 ϵ0\epsilon_0ϵ0。
3. 微分化 (推导)
将总电荷 QQQ 写成电荷密度 ρ\rhoρ 的体积分：Q=∫VρdVQ = \int_V \rho dVQ=∫VρdV。
同时利用散度定理 把左边变成体积分：
∫V(∇⋅E)dV=∫Vρϵ0dV\int_V (\nabla \cdot \mathbf{E}) dV = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} dV∫V(∇⋅E)dV=∫Vϵ0ρdV
因为对于任意体积 VVV 都成立，被积函数必须相等：
∇⋅E=ρϵ0\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}∇⋅E=ϵ0ρ
(物理含义：电场是有源场，电荷就是那个源。)
方程二：高斯磁场定律
------磁场没有"单极子"
1. 物理起点：磁铁切开还是磁铁
无论你怎么切割磁铁，你永远得到的是一个 N 极和一个 S 极，从未发现过单独的"磁荷"。磁感线永远是闭合的圈，从 N 出来回到 S。
2. 数学表述
既然没有磁荷（源头），那么穿过任意闭合曲面的磁通量必须是 0（进多少出多少）。
∮SB⋅da=0\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = 0∮SB⋅da=0
3. 微分化
再次利用散度定理：
∫V(∇⋅B)dV=0\int_V (\nabla \cdot \mathbf{B}) dV = 0∫V(∇⋅B)dV=0
∇⋅B=0\nabla \cdot \mathbf{B} = 0∇⋅B=0
(物理含义：磁场是无源场，磁力线永远闭合。)
方程三：法拉第电磁感应定律
------变化的磁场产生电场
1. 物理起点：法拉第的实验
当穿过线圈的磁通量 ΦB\Phi_BΦB 发生变化时，线圈中会产生感应电动势 E\mathcal{E}E。
E=−dΦBdt\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}E=−dtdΦB
(负号来自楞次定律：感应电流阻碍磁通变化)
2. 场论翻译
电动势 E\mathcal{E}E 本质上是电场 E\mathbf{E}E 沿着闭合回路 LLL 的做功（环流）：
E=∮LE⋅dl\mathcal{E} = \oint_L \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}E=∮LE⋅dl
磁通量 ΦB\Phi_BΦB 是磁场 B\mathbf{B}B 在曲面 SSS 上的积分：
ΦB=∫SB⋅da\Phi_B = \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a}ΦB=∫SB⋅da
代入法拉第定律：
∮LE⋅dl=−ddt∫SB⋅da\oint_L \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a}∮LE⋅dl=−dtd∫SB⋅da
3. 微分化
利用斯托克斯定理 将左边变为面积分：
∫S(∇×E)⋅da=−∫S∂B∂t⋅da\int_S (\nabla \times \mathbf{E}) \cdot d\mathbf{a} = - \int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{a}∫S(∇×E)⋅da=−∫S∂t∂B⋅da
去掉积分号：
∇×E=−∂B∂t\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}∇×E=−∂t∂B
(物理含义：电场不一定是静电场，变化的磁场也能产生"涡旋"状的电场。)
方程四：安培-麦克斯韦定律
------伟大的修补
这是麦克斯韦封神的一步。
1. 旧安培定律的困境
早期的安培定律说：电流 III 会产生环绕的磁场。
∇×B=μ0J\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}∇×B=μ0J
其中 J\mathbf{J}J 是电流密度。
2. 致命漏洞
我们对上式两边取散度（Divergence）。
- 左边：∇⋅(∇×B)\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B})∇⋅(∇×B)。根据矢量恒等式，旋度的散度恒为 0。
- 右边：μ0(∇⋅J)\mu_0 (\nabla \cdot \mathbf{J})μ0(∇⋅J)。
这意味着 ∇⋅J=0\nabla \cdot \mathbf{J} = 0∇⋅J=0。这在恒定电流（静磁学）下是对的。
但在非恒定电流 下，根据电荷守恒定律（连续性方程）：
∇⋅J=−∂ρ∂t\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}∇⋅J=−∂t∂ρ
矛盾出现了！ 当电荷密度随时间变化时（例如给电容器充电），旧安培定律不成立！
3. 麦克斯韦的补救：位移电流
为了让等式成立，麦克斯韦通过高斯定律 ρ=ϵ0(∇⋅E)\rho = \epsilon_0 (\nabla \cdot \mathbf{E})ρ=ϵ0(∇⋅E) 替换了 ρ\rhoρ：
∇⋅J=−∂∂t(ϵ0∇⋅E)=−∇⋅(ϵ0∂E∂t)\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial}{\partial t} (\epsilon_0 \nabla \cdot \mathbf{E}) = -\nabla \cdot (\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t})∇⋅J=−∂t∂(ϵ0∇⋅E)=−∇⋅(ϵ0∂t∂E)
移项得到：
∇⋅(J+ϵ0∂E∂t)=0\nabla \cdot \left( \mathbf{J} + \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) = 0∇⋅(J+ϵ0∂t∂E)=0
看！如果我们把括号里的东西定义为"广义电流"，散度就是 0 了。
麦克斯韦把这一项 Jd=ϵ0∂E∂t\mathbf{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}Jd=ϵ0∂t∂E 称为位移电流 (Displacement Current)。
4. 最终形式
将这个新项加回安培定律：
∇×B=μ0J+μ0ϵ0∂E∂t\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}∇×B=μ0J+μ0ϵ0∂t∂E
(物理含义：不仅电流能产生磁场，变化的电场也能产生磁场！)
终章：光的预言
现在，我们集齐了四大方程：
- ∇⋅E=ρϵ0\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}∇⋅E=ϵ0ρ （电荷产生电场）
- ∇⋅B=0\nabla \cdot \mathbf{B} = 0∇⋅B=0 （磁荷不存在）
- ∇×E=−∂B∂t\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}∇×E=−∂t∂B （动磁生电）
- ∇×B=μ0ϵ0∂E∂t+μ0J\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mu_0 \mathbf{J}∇×B=μ0ϵ0∂t∂E+μ0J （动电生磁）
麦克斯韦盯着后两个方程，如果在真空中（J=0,ρ=0\mathbf{J}=0, \rho=0J=0,ρ=0），它们呈现出完美的对称性。
变化的电场产生磁场，变化的磁场又产生电场......这种交替激发会向远处传播。
他对这两个方程取旋度，消去变量，惊人地推导出了波动方程：
∇2E=μ0ϵ0∂2E∂t2\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}∇2E=μ0ϵ0∂t2∂2E
波速 v=1μ0ϵ0v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}v=μ0ϵ0 1。
当时，μ0\mu_0μ0（真空磁导率）和 ϵ0\epsilon_0ϵ0（真空介电常数）只是实验室测出来的两个常数。
麦克斯韦把它们代入一算：
v≈3×108 m/sv \approx 3 \times 10^8 \, m/sv≈3×108m/s
这个数字，恰好与当时测量的光速 吻合，实际上，光，就是一种电磁波。