高等数学(下)题型笔记(八)空间解析几何与向量代数

目录

[0 前言](#0 前言)

[1 向量的点乘](#1 向量的点乘)

[1.1 基本公式](#1.1 基本公式)

[1.2 例题](#1.2 例题)

[2 向量的叉乘](#2 向量的叉乘)

[2.1 基础知识](#2.1 基础知识)

[2.2 例题](#2.2 例题)

[3 空间平面方程](#3 空间平面方程)

[3.1 基础知识](#3.1 基础知识)

[3.2 例题](#3.2 例题)

[4 空间直线方程](#4 空间直线方程)

[4.1 基础知识](#4.1 基础知识)

[4.2 例题](#4.2 例题)

[5 旋转曲面及其方程](#5 旋转曲面及其方程)

[5.1 基础知识](#5.1 基础知识)

[5.2 例题](#5.2 例题)

[6 空间曲面的法线与切平面](#6 空间曲面的法线与切平面)

[6.1 基础知识](#6.1 基础知识)

[6.2 例题](#6.2 例题)

7空间曲线的切线与法平面

[7.1 基础知识](#7.1 基础知识)

[7.2 例题](#7.2 例题)


0 前言

来源:蜂考


1 向量的点乘

1.1 基本公式


1.2 例题

答案:2

答案:π/3

答案:2/3

答案:-6

答案:

知识点:

答案:2

知识点:


2 向量的叉乘

2.1 基础知识

方向:

大小:

如何求:

黄色对角线相乘减去红色对角线相乘


2.2 例题

答案:(5, 1, 7)

答案:二分之根号二

知识点:


3 空间平面方程

3.1 基础知识


3.2 例题

答案:

答案:

答案:C

知识点:

平行与哪个轴,哪个量不存在,例如本题中平行与x轴,则A=0

过x轴必过原点,代入即可求出D

答案:B

知识点:求两个平面夹角

答案:1

知识点:

1.求点到直线的距离

2.求两个平行平面的距离


4 空间直线方程

4.1 基础知识

表示空间直线的三种形式:


4.2 例题

答案:

答案:(3, 3, -2)

知识点:

利用参数方程形式代入平面方程中解出t再回代,即可求交点

答案:π/4

知识点:求直线夹角

答案:C

知识点:

判断平行之后要分类讨论


5 旋转曲面及其方程

5.1 基础知识

绕谁谁不变,再把等号另一端的变量换成平方和开根的形式,见例题1

从左到右依次是:球面、上半球面、旋转抛物面、圆锥面

第二个等式右边加负号则是下半球面

第四个左右同时平方表示上下都有圆锥面

在空间几何中,若某个轴没有值则表示无限延伸


5.2 例题

答案:

知识点:

答案:

答案:D

答案:D

知识点:平行与哪个轴就没有哪个分量

答案:

知识点:没有哪个值都消去哪个值,如本题消去z


6 空间曲面的法线与切平面

6.1 基础知识


6.2 例题

答案:

知识点:将原式移到左边构造F,然后分别求x、y、z的偏导,并将点代入


7空间曲线的切线与法平面

7.1 基础知识


7.2 例题

答案:

知识点:

给参数方程时,直接分别对t求导即可

求交点直接把t代入参数方程即可

答案:

写成以下形式

知识点:

求空间曲线法向量:构造F,分别求偏导,代入点即可

求空间平面法向量:直接取系数

此题还会考空间曲线与空间曲线联立,不论哪种,求法向量与方向向量都是一样的方法:

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