P1216 [IOI 1994] 数字三角形 Number Triangles

黑色的山岗在沉睡2025-06-12 11:25

题目描述

观察下面的数字金字塔。

写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。

在上面的样例中，从 7 → 3 → 8 → 7 → 5 7 \to 3 \to 8 \to 7 \to 5 7→3→8→7→5 的路径产生了最大权值。

输入格式

第一个行一个正整数 r r r，表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

输出格式

单独的一行,包含那个可能得到的最大的和。

输入输出样例 #1

输入 #1

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输出 #1

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说明/提示

【数据范围】

对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ r ≤ 1000 1\le r \le 1000 1≤r≤1000，所有输入在 $0 , 100$ $0,100$ $0,100$ 范围内。

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

IOI1994 Day1T1

常规的最大路径和，考虑dp做法。

dp $i$ $j$ 为到达第 i 行第 j 个点的最大路径。

转移方程： d p $i$ $j$ = m a x ( d p $i - 1$ $j - 1$ , d p $i - 1$ $j$ ) + d p $i$ $j$ dp $i$ $j$ =max(dp $i-1$ $j-1$ , dp $i-1$ $j$ )+dp $i$ $j$ dp $i$ $j$ =max(dp $i-1$ $j-1$ ,dp $i-1$ $j$ )+dp $i$ $j$

c++ 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int r;
    cin >> r; 
    vector<vector<int>> a(r + 1, vector<int>(r + 1));
    for (int i = 1; i <= r; ++i) {
        for (int j = 1; j <= i; ++j) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    const int INF = -1000000000;
    vector<vector<int>> dp(r + 1, vector<int>(r + 1, INF));
    dp[1][1] = a[1][1];
    for (int i = 2; i <= r; ++i) {
        for (int j = 1; j <= i; ++j) {
            int best_prev = INF;
            if (j > 1) {
                best_prev = max(best_prev, dp[i-1][j-1]);
            }
            best_prev = max(best_prev, dp[i-1][j]);
            dp[i][j] = best_prev + a[i][j];
        }
    }
    int ans = INF;
    for (int j = 1; j <= r; ++j) {
        ans = max(ans, dp[r][j]);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}