3.1 矩阵乘法
以 A ∗ B = C A*B=C A∗B=C为例，其中 矩阵A 是 m ∗ n m*n m∗n ,矩阵B是 n ∗ p n*p n∗p,矩阵C则是 m ∗ p m*p m∗p
-
单个元素
求矩阵C中的每一个元素，公式如下：
c i j = ∑ k = 1 n a i k ∗ b k j c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}*b_{kj} cij=k=1∑naik∗bkj
-
整列
将矩阵C按照列考虑，矩阵C如下：
c o l c 1 c o l c 2 c o l c 3 . . . \] \\begin{bmatrix} col_{c1}\&col_{c2}\&col_{c3}\&...\\end{bmatrix} \[colc1colc2colc3...
那么矩阵C中每一列就是用矩阵A乘以对应的矩阵B中一列，公式如下：
c o l c i = A ∗ c o l b i col_{ci}=A*col_{bi} colci=A∗colbi
-
整行
将矩阵C按照行考虑，矩阵C如下：
r o w c 1 r o w c 2 r o w c 3 . . . \begin{bmatrix} row_{c1}\\row_{c2}\\row_{c3}\\...\end{bmatrix} rowc1rowc2rowc3...
那么矩阵C中每一行就是用矩阵A中对应的行乘以矩阵B，公式如下：
r o w c i = r o w a i ∗ B row_{ci}=row_{ai}*B rowci=rowai∗B
-
行×列
用矩阵A的行乘以矩阵B的列，得到多个矩阵，再将多个矩阵相加就得到矩阵C，公式如下：
C = ∑ k = 1 m r o w a k ∗ c o l b k C=\sum_{k=1}^m row_{ak}*col_{bk} C=k=1∑mrowak∗colbk
-
分块相乘
将每个矩阵分块，得到如下方程：
A 1 A 2 A 3 A 4 \] A ∗ \[ B 1 B 2 B 3 B 4 \] B = \[ C 1 C 2 C 3 C 4 \] C \\underset{\\text{A}}{\\begin{bmatrix} A_1\&A2\\\\A_3\&A_4\\end{bmatrix}}\*\\underset{\\text{B}}{\\begin{bmatrix} B_1\&B_2\\\\B_3\&B_4\\end{bmatrix}}=\\underset{\\text{C}}{\\begin{bmatrix} C_1\&C_2\\\\C_3\&C_4\\end{bmatrix}} A\[A1A3A2A4\]∗B\[B1B3B2B4\]=C\[C1C3C2C4
此时，分块矩阵C中每一块矩阵计算公式如下：
C i = A 1 ∗ B 1 + A 2 ∗ B 3 C_i=A_1*B_1+A_2*B_3 Ci=A1∗B1+A2∗B3
3.2 矩阵的逆
-
逆矩阵：
矩阵A乘以矩阵B等于单位矩阵I，就称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记作 A − 1 A^{-1} A−1，如果A为方阵， A − 1 A^{-1} A−1左乘或者右乘都成立
A − 1 ∗ A = I = A ∗ A − 1 A^{-1}*A=I=A*A^{-1} A−1∗A=I=A∗A−1
-
奇异矩阵：
若矩阵A乘以非零向量X等于零，则称矩阵A为奇异矩阵，此矩阵就没有逆矩阵
3.3 求解逆矩阵
1 3 2 7 \] A ∗ \[ a c b d \] A − 1 = \[ 1 0 0 1 \] C \\underset{\\text{A}}{\\begin{bmatrix} 1\&3\\\\2\&7\\end{bmatrix}}\*\\underset{A\^{-1}}{\\begin{bmatrix} a\&c\\\\b\&d\\end{bmatrix}}=\\underset{\\text{C}}{\\begin{bmatrix} 1\&0\\\\0\&1\\end{bmatrix}} A\[1237\]∗A−1\[abcd\]=C\[1001
-
方法一：
分别求解下面两个矩阵乘法
1 3 2 7 \] ∗ \[ a b \] = \[ 1 0 \] \\underset{}{\\begin{bmatrix} 1\&3\\\\2\&7\\end{bmatrix}}\*\\underset{}{\\begin{bmatrix} a\\\\b\\end{bmatrix}}=\\underset{}{\\begin{bmatrix} 1\\\\0\\end{bmatrix}} \[1237\]∗\[ab\]=\[10
1 3 2 7 \] ∗ \[ c d \] = \[ 0 1 \] \\underset{}{\\begin{bmatrix} 1\&3\\\\2\&7\\end{bmatrix}}\*\\underset{}{\\begin{bmatrix} c\\\\d\\end{bmatrix}}=\\underset{}{\\begin{bmatrix} 0\\\\1\\end{bmatrix}} \[1237\]∗\[cd\]=\[01
-
方法二：
将矩阵A和单位矩阵I 写成一个长的矩阵 A ∣ I \begin{bmatrix} A&|&I\end{bmatrix} A∣I，记作D，用消元法将，将D中的前半部分A变换为单位矩阵I，这样矩阵D就会变为 I ∣ ? \begin{bmatrix} I&|&?\end{bmatrix} I∣?,得到的后半部分就是矩阵A的逆 A − 1 A^{-1} A−1
1 3 ∣ 1 0 2 7 ∣ 0 1 \] → \[ 1 0 ∣ 7 − 3 0 1 ∣ − 2 1 \] \\begin{bmatrix} 1\&3\&\|\&1\&0\\\\2\&7\&\|\&0\&1\\end{bmatrix}\\rightarrow\\begin{bmatrix} 1\&0\&\|\&7\&-3\\\\0\&1\&\|\&-2\&1\\end{bmatrix} \[1237∣∣1001\]→\[1001∣∣7−2−31
根据之前的学的，消元法就像左乘一个矩阵E
E ∗ A ∣ I = I ∣ A − 1 E*\begin{bmatrix} A&|&I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I&|&A^{-1}\end{bmatrix} E∗A∣I=I∣A−1可以看出来 E ∗ A = I E*A=I E∗A=I,所以 E = A − 1 E=A^{-1} E=A−1