视频课程入下：
2. Elimination with Matrices.
2.1 消元法求解
例题如下：
{ x + 2 y + z = 2 3 x + 8 y + z = 12 4 y + z = 2 \begin{cases} x +2y+z = 2 \\ 3x + 8y+z = 12 \\ 4y+z=2 \end {cases} ⎩ ⎨ ⎧x+2y+z=23x+8y+z=124y+z=2
将方程组左侧的系数用矩阵的形式表示，这个方程组如下：
1 2 3 3 8 1 0 4 1 \] A ∗ \[ x y z \] X = \[ 2 12 2 \] b \\underset{\\text{A}}{\\begin{bmatrix} 1\&2\&3\\\\3\&8\&1\\\\0\&4\&1\\end{bmatrix}}\*\\underset{\\text{X}}{\\begin{bmatrix} x\\\\y\\\\z\\end{bmatrix}}=\\underset{\\text{b}}{\\begin{bmatrix} 2\\\\12\\\\2\\end{bmatrix}} A 130284311 ∗X xyz =b 2122 对系数矩阵A进行消元： 1. r o w 2 − 3 ∗ r o w 1 row_2-3\*row_1 row2−3∗row1，使用A的第二行减去第一行的3倍，获得A1 2. r o w 3 − 2 ∗ r o w 2 row_3-2\*row_2 row3−2∗row2，使用A1的第三行减去第二行的2倍，获得A2 \[ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 \] A → ① \[ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 \] A1 → ② \[ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 \] A2 \\underset{\\text{A}}{\\begin{bmatrix} 1\&2\&1\\\\3\&8\&1\\\\0\&4\&1\\end{bmatrix}}\\xrightarrow{①}\\underset{\\text{A1}}{\\begin{bmatrix} 1\&2\&1\\\\0\&2\&-2\\\\0\&4\&1\\end{bmatrix}}\\xrightarrow{②}\\underset{\\text{A2}}{\\begin{bmatrix} 1\&2\&1\\\\0\&2\&-2\\\\0\&0\&5\\end{bmatrix}} A 130284111 ① A1 1002241−21 ② A2 1002201−25 此时，方程组的系数矩阵化简完成，现在将等行右边的结果向量b进行相同的操作： \[ 2 12 2 \] b ⟶ \[ 2 6 2 \] b1 ⟶ \[ 2 6 − 10 \] b2 \\underset{\\text{b}}{\\begin{bmatrix} 2\\\\12\\\\2\\end{bmatrix}}\\longrightarrow\\underset{\\text{b1}}{\\begin{bmatrix} 2\\\\6\\\\2\\end{bmatrix}}\\longrightarrow\\underset{\\text{b2}}{\\begin{bmatrix} 2\\\\6\\\\-10\\end{bmatrix}} b 2122 ⟶b1 262 ⟶b2 26−10 所以原方程组就变成了 { x + 2 y + z = 2 3 x + 8 y + z = 12 4 y + z = 2 ⟶ { x + 2 y + z = 2 2 y − 2 z = 6 5 z = − 10 \\begin{cases} x +2y+z = 2 \\\\ 3x + 8y+z = 12 \\\\ 4y+z=2 \\end {cases}\\longrightarrow\\begin{cases} x +2y+z = 2 \\\\ 2y-2z = 6 \\\\ 5z=-10 \\end {cases} ⎩ ⎨ ⎧x+2y+z=23x+8y+z=124y+z=2⟶⎩ ⎨ ⎧x+2y+z=22y−2z=65z=−10 从而求解出来方程组： { x = 2 y = 1 z = − 2 \\begin{cases} x = 2 \\\\ y = 1 \\\\ z = -2 \\end {cases} ⎩ ⎨ ⎧x=2y=1z=−2 #### 2.2 矩阵乘法 列变换： \[ c o l 1 c o l 2 c o l 3 \] ∗ \[ x y z \] = x ∗ c o l 1 + y ∗ c o l 2 + z ∗ c o l 3 \\begin{bmatrix} col_1\&col_2\&col_3\\end{bmatrix}\*\\begin{bmatrix} x\\\\y\\\\z\\end{bmatrix}=x\*col_1+y\*col_2+z\*col_3 \[col1col2col3\]∗ xyz =x∗col1+y∗col2+z∗col3 行变换： \[ x y z \] ∗ \[ r o w 1 r o w 2 r o w 3 \] = x ∗ r o w 1 + y ∗ r o w 2 + z ∗ r o w 3 \\begin{bmatrix} x\&y\&z\\end{bmatrix}\*\\begin{bmatrix} row_1\\\\row_2\\\\row_3\\end{bmatrix}=x\*row_1+y\*row_2+z\*row_3 \[xyz\]∗ row1row2row3 =x∗row1+y∗row2+z∗row3 所以2.1中的例题系数矩阵消元就可以用矩阵的乘法表示： \[ 1 0 0 0 0 1 0 − 2 1 \] E 32 \[ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 \] E 21 \[ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 \] A = \[ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 \] U \\underset{E_{32}}{\\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\0\&0\&1\\\\0\&-2\&1\\end{bmatrix}}\\underset{E_{21}}{\\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\-3\&1\&0\\\\0\&0\&1\\end{bmatrix}}\\underset{\\text{A}}{\\begin{bmatrix} 1\&2\&1\\\\3\&8\&1\\\\0\&4\&1\\end{bmatrix}}=\\underset{\\text{U}}{\\begin{bmatrix} 1\&2\&1\\\\0\&2\&-2\\\\0\&0\&5\\end{bmatrix}} E32 10000−2011 E21 1−30010001 A 130284111 =U 1002201−25 简写就可以写作 E 32 ∗ ( E 21 ∗ A ) = U E_{32}\*(E_{21}\*A)=U E32∗(E21∗A)=U, ( E 32 ∗ E 21 ) ∗ A = U (E_{32}\*E_{21})\*A=U (E32∗E21)∗A=U,结合律适用矩阵乘法。 ### 2.3 置换矩阵 行交换： \[ 0 1 1 0 \] ∗ \[ a b c d \] = \[ c d a b \] \\begin{bmatrix} 0\&1\\\\1\&0\\end{bmatrix}\*\\begin{bmatrix} a\&b\\\\c\&d\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix} c\&d\\\\a\&b\\end{bmatrix} \[0110\]∗\[acbd\]=\[cadb
列交换
a b c d \] ∗ \[ 0 1 1 0 \] = \[ b a d c \] \\begin{bmatrix} a\&b\\\\c\&d\\end{bmatrix}\*\\begin{bmatrix} 0\&1\\\\1\&0\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix} b\&a\\\\d\&c\\end{bmatrix} \[acbd\]∗\[0110\]=\[bdac
2.4 逆矩阵
1 0 0 3 1 0 0 0 1 \] E − 1 ∗ \[ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 \] E = \[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 \] I \\underset{E\^{-1}}{\\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\3\&1\&0\\\\0\&0\&1\\end{bmatrix}}\*\\underset{\\text{E}}{\\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\-3\&1\&0\\\\0\&0\&1\\end{bmatrix}}=\\underset{\\text{I}}{\\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\0\&1\&0\\\\0\&0\&1\\end{bmatrix}} E−1 130010001 ∗E 1−30010001 =I 100010001